OliForum Matematico

Trovare il più piccolo numero a>1 tale che
$ \displaystyle \frac{a + sin x}{a + sin y}\leq\ e^t $
con t = y-x e $ \displaystyle \ x\leq\ y $

Non so se sia vero quindi prima chiedo...
$ \displaystyle a=\frac{e^\pi+1}{e^\pi-1} $?

prendere il logaritmo naturale del numero complesso in forma esponenziale pare fico (occhio a quanto sono ggiovane) da dire ...

poi, l'identità, per p>1, di $ \ln(p-1)>p $ dovrebbe essere utile.....

Qualcuno ora potrebbe postare per intero la propria soluzione?

mi accoro al grido disperato di sqrt2: SCRIVETE LA SOLUZIONE DI QUESTO ESERCIZIO

Ci provo io...
$ a > 1 \Rightarrow a + seny > 0 $.Quindi possiamo riscrivere la disuguaglianza come:
$ e^x \left( {a + senx} \right) \le e^y \left( {a + seny} \right) $
$ \displaystyle a \ge \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^x - e^y }} $

Ora considera la funzione $ f\left( x \right) = xsen\ln x $.
$ \displaystyle f'\left( x \right) = sen\ln x + \cos \ln x = \sqrt 2 sen\left( {\ln x + \frac{\pi }{4}} \right) $.
La funzione f è continua e derivabile nell'intervallo $ \left[ {e^x ,e^y } \right] $ quindi per il teorema di Lagrange esiste un $ t \in \left] {x,y} \right[ $ tale che:
$ \displaystyle \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^y - e^x }} = \sqrt 2 sen\left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) $
Da quest'ultima si ricava che per qualunque valore di t:

$ \displaystyle - \sqrt 2 \le \frac{{e^y seny - e^x senx}}{{e^y - e^x }} \le \sqrt 2 $
da cui $ a=\sqrt 2 $

è davvero una bellissima dimostrazione.. hai già fatto esercizi simili oppure è la prima volta?

Complimenti __Cu_Jo__.

Da dove ha tirato fuori quella f(x)??

poni x1 =e^x e y1= e^y e riscrivi nelle nuove variabili

trugruo ha scritto:poni x1 =e^x e y1= e^y e riscrivi nelle nuove variabili

x1 e y1??

cioè?? $ e^e^x)a+sin(e^x)\lee^e^y(a+cos(e^y)) $
scusate la mia ignoranza...

Ragazzi, questa è necrofilia... ma vi rendete conto che questo thread è fermo dal maggio 2006?? Abbiate decenza, lasciate i morti a riposare in pace...

EvaristeG ha scritto:Ragazzi, questa è necrofilia... ma vi rendete conto che questo thread è fermo dal maggio 2006?? Abbiate decenza, lasciate i morti a riposare in pace...

ahahhaha no era perché volevo solo sapere...