Classico...
Inviato: 02 mag 2006, 09:48
Facile, non per esperti:
provare che $ (a,b)=1 \Longrightarrow (a+b,a^2-ab+b^2)\leq 3 $.
provare che $ (a,b)=1 \Longrightarrow (a+b,a^2-ab+b^2)\leq 3 $.
OliForum Matematico
il forum ufficiale delle olimpiadi della matematica
https://www.oliforum.it/
Classico...
Pagina 1 di 1
Inviato: 02 mag 2006, 14:15
(a,b)=1 --> (a+b,ab)=1
(a+b,a^2-ab+b^2)=(a+b,(a+b)^2-3ab)=(a+b,3ab)
quindi poichè tra a+b e ab non ci sono fattori comuni, il MCD sarà un divisore di 3, q.e.d.
Inviato: 02 mag 2006, 15:21
Intanto so che (a+b, a²-ab+b²)=(a+b, (a+b)²-3ab).
Poi vedo che (a+b, ab)=1, perché a e b sono primi fra loro: infatti, qualunque
divisore primo di ab è contenuto in a oppure in b (ma non in entrambi) e non
potrebbe dividere a+b senza dividere contemporaneamente i due addendi.
Per (a,b)=1, i numeri a+b e a²-ab+b²=(a+b)²-3ab non sono nello stesso tempo
pari (ciò che si verifica solo quando a e b sono entrambi pari), quindi: o essi sono
primi fra loro, oppure ammettono 3 come massimo comun divisore.
Ops, mi accorgo solo adesso dell'identica soluzione di Boll...
Poi vedo che (a+b, ab)=1, perché a e b sono primi fra loro: infatti, qualunque
divisore primo di ab è contenuto in a oppure in b (ma non in entrambi) e non
potrebbe dividere a+b senza dividere contemporaneamente i due addendi.
Per (a,b)=1, i numeri a+b e a²-ab+b²=(a+b)²-3ab non sono nello stesso tempo
pari (ciò che si verifica solo quando a e b sono entrambi pari), quindi: o essi sono
primi fra loro, oppure ammettono 3 come massimo comun divisore.
Ops, mi accorgo solo adesso dell'identica soluzione di Boll...