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Provare che $ \displaystyle \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{3n+1}>1 $ se $ n\equiv 11 \, mod \, 17 \wedge n \in N $.

Sentivo un fru fru fra le fratte...
No Bacco, nessuna insinuazione sul tuo orientamento sessuale.

Si ha:
$ $S=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} $$ $+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+...+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n+1} $
Raggruppando i termini equidistanti dal centro della sommatoria:
$ $S= (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{3n+1})+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{3n})+...+ $$ $(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2})+\frac{1}{2n+1} $
E sommando nelle varie parentesi:
$ $S=[\frac{4n+2}{(n+1)(3n+1)}+\frac{4n+2}{(n+2)(3n)}+... $$ $+\frac{4n+2}{(2n+2)(2n) }]+\frac{4n+2}{2(2n+1)^2} $
Osserviamo ora che i termini dell'ultima S sono in numero di n+1 e che
$ $(n+1)(3n+1)<4n^2+4n+1 $ e cosi' per tutti gli altri denominatori
ad eccezione dell'ultimo.Pertanto si puo' scrivere che:
$ $S>\frac{n(4n+2)}{(2n+1)^2}+\frac{4n+2}{2(2n+1)^2}}=1 $
q.d.d.
Noto che il risultato sembra non dipendere dalla condizione imposta ad n dal quesito.
Leandro

Sì infatti quella condizione l'ho inventata solo per spaventare! Viene bene anche con l'induzione....

Bacco ha scritto:Sì infatti quella condizione l'ho inventata solo per spaventare! Viene bene anche con l'induzione....

Induzione... sì, dovrei esserci riuscito.

1) Passo iniziale, $ n=1 $: abbiamo $ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{13}{12} > 1. $

2) Passo induttivo, $ n \Rightarrow n+1 $. Posta vera la tesi, dimostriamo che è verificato che:

$ \displaystyle \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{1}{3n+4} > 1 $

Porre la tesi vera significa affermare la verità di:

$ \displaystyle \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} > 1 - \frac{1}{n+1} $.

Ora, spezziamo l'espressione ottenuta nel passo induttivo in due parti, in questo modo:

$ \displaystyle \left( \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1}\right) + \left(\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}\right) > 1 $

Ora, sappiamo che la prima parentesi è maggiore di $ \displaystyle 1 - \frac{1}{n+1} $. Per la nota proprietà delle disuguaglianze sappiamo che, se $ a>b $, allora $ a+c> b+d $ se $ c \geq d $. Per questo motivo, deve essere che la seconda parentesi sia maggiore o uguale a $ \displaystyle \frac{1}{n+1} $. Impostiamo la disequazione:

$ \displaystyle \frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4} \geq \frac{1}{n+1} $.

Dopo qualche breve calcolo, si giunge a trovare che $ 2 \geq 0 $, che è banalmente verificata.

La tesi risulta dunque provata per induzione.

Bacco ha scritto:Sì infatti quella condizione l'ho inventata solo per spaventare!