OliForum Matematico

Salve a tutti.... sono ancora poco pratico di questo forum quindi se qualcosa nella formula uscirà poco chiaro... boh riproverò a scriverla.... ... cmq... ecco il quesito che volevo proporre....
Siano $ a,b,c $ lati di un triangolo. Si provi che
$ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq0 $. Auguri!!!

a,b,c sono lati di un triangolo.

- lemma:

esistono x,y,z positivi tali che


$ x+y=a $
$ y+z=b $
$ x+z=c $

(infatti basta porre a+b = c + 2y > c e così via)



in termini di x e y l'espressione, dopo lunghi calcoli, diventa:

$ 2(xy^{3}+yz^{3}+zx^{3} - (xy^{2}z+xyz^{2}+yzx^{2})) $

spero che ciò possa semplificare la soluzione.

Bunching?

Ho solo letto il teorema, qualcuno mi spiega come si può applicare in questo caso?

edriv ha scritto:Bunching?
Ho solo letto il teorema, qualcuno mi spiega come si può applicare in questo caso?

Non immediatamente: il bunching si applica solo alle "somme simmetriche", cioè quelle che rimangono invariate se si scambiano tra loro due qualunque delle variabili. In questo caso, c'è il termine $ zx^3 $ ma non, per esempio, $ yx^3 $ (che si ottiene scambiando z e y): i tre termini di quel tipo formano quella che viene chiamata una "somma ciclica" (cioè che rimane invariata se si scambiano "ciclicamente" le variabili: cioè x->y, y->z, z->x.
Suggerimento: (a occhio direi che funziona ma sono troppo pigro per fare i conti) Però invece di applicare il "cannone" potete provare a cercare di capire l'idea della sua dimostrazione e costruirne una simile in questo caso: prendete "un po'" di termini del tipo xy^3, yz^3, zx^3 e cercate di applicarci una AM-GM in modo da arrivare ad avere dal lato a destra il termine xy^2z...

Altro hint : riordinamento

E se applicassimo il sempiterno "Cauchy" ?
Dividiamo il tutto per xyz:
$ $\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}\geq x+y+z $
Per Cauchy dal primo membro della diseguaglianza si ottiene:
$ $\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z}=x+y+z $
Leandro

Direi che Leandro ha centrato in pieno la questione... boh per chi non credesse che effettivamente per Cauchy la conclusione di Leandro sia vera provi con
$ a_1=\sqrt x\\a_2=\sqrt y\\a_3=\sqrt z\\b_1=\frac{z}{\sqrt x}\\b_1=\frac{x}{\sqrt y}\\b_3=\frac{y}{\sqrt z} $
E così chiudo la dimostrazione...
Saluti.... -Francesco-