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ciao

sia $ $x_{n+1}=\frac{A+x_n}{1+x_n}, \qquad x_0 = \alpha > \sqrt A$ $

voglio mostrare che $ \lim x_n = \sqrt A $ spiraleggiando.

Considero le sottosuccessioni dei pari e dei dispari mostrando per induzione che

$ $x_{2n+1} \leq x_{2n+3} < \sqrt A < x_{2n+2} \leq x_{2n}$ $

ma come faccio a verificare che $ x_1 \leq x_3 < \sqrt A < x_2 \leq x_0 $ senza calcoli bovini??

per questa successione definita per ricorrenza si può trovare la formula esplicita volendo...però ci vogliono un pò di calcoli bovini

a dire il vero la successione, converge per ogni x in R ad eccezione del punto x = -1
"banalmente" si dimostra che il punto di equilibrio $ x_e=\sqrt{A} $ è globalmente asintoticamente stabile...praticamente il suo bacino di attrattività è tutto R, ad eccezione di un punto. quindi la condizione $ x_0>\sqrt{A} $ è non necessaria.
si tratta di risolvere un po' di diseguaglianze, fare una o due derivate, e fare delle considerazioni teoriche su f. è lungo ma abbastanza facile.

per una forma chiusa, è un po' voluminosa, ma comunque conferma quanto ho detto, e dovrebbe anche confermare il fatto che la convergenza è "spiraleggiante", cosa che non credo si possa tirar fuori dall'analisi della stabilità.

Hmmm ragazzi, mi viene in mente un dettaglio ... avevo detto che f(-1) diverge...ok, nessun problema, ma come la mettiamo che f(f(-1))=f^2(-1) è definita ???...
così come f^2(-(A+1)/2) diverge, mentre f^3(-(A+1)/2) è finita ?
come si agira dal punto di vista formale la cosa ??

Il problema è che per $ x_0=-1 $, la successione non è definita. Per fare le cose bene bisogna lavorare in un insieme $ D $ tale che $ f(D)\subseteq D $.