Formicaio

[Nonno Bassotto]

Propongo un problema che se non erro è stato dato qualche anno fa a Cesenatico, ma con alcune varianti. Se mi sbaglio vuol dire che era ancora buono da tenere, ma l'ho sentito da altre parti, quindi era "bruciato" per i Cesenatici prossimi. Mi raccomando, le soluzioni in bianco, così le legge solo chi vuole.

1) Sul segmento [0,1] ci sono 100 formiche + la formica arturo; sono assegnate le posizioni iniziali e la direzione in cui sono voltate le formiche. All'inizio Arturo si trova al centro del segmento. Al tempo 0 le formiche iniziano a muoversi, ciascuna nel verso in cui è rivolta, con velocità 1. Ogni volta che due formiche si incontrano, ciascuna delle due cambia direzione e continua a muoversi con velocità 1 nell'altro verso. Lo stesso quando una formica urta un estremo del segmento. Determinare per quali condizioni iniziali Arturo sarà di nuovo al centro del segmento al tempo 1.

2) Stesso problema, ma ora le formiche girano su una circonferenza lunga 1. Arturo parte da un punto fissato (chiaramente non c'è più un centro) e si vuole sapere sotto quali condizioni si ritrova nello stesso punto al tempo 1.

3) Sempre più complicato. Adesso le formiche stanno su una circonferenza lunga 1 con valvola. Questo significa che c'è un punto p tale che le formiche che arrivano in p in verso orario proseguono, quelle che arrivano nell'altro verso rimbalzano. Arturo parte dal punto diametralmente opposto a p. Quali sono stavolta le condizioni sotto cui si ritrova nello stesso punto al tempo 1?

Ciao

PS Nel forum problemi non c'è la categoria "matematizzazione", che nessuno ha mai capito bene cosa fosse, ma sotto la quale andavano di solito i problemi tipo questo. Che mancanza!

[moebius]

veramente carino, specialmente per la soluzione che non ti aspetti

[gordio]

davvero molto molto bello ho trovato una soluzione al punto 1

Consideriamo il problema ausiliario in cui quando due formiche si incontrano, non rimbalzano ma vanno avanti ognuna per la sua strada come se nulla fosse. A parità di condizioni iniziali, la distribuzione nel tempo delle formiche nei due problemi è la stessa. Quindi siam sicuri che dopo 1 sec una formica a metà segmento ci sarà. Notiamo che nel problema ausiliario se una formica parte dalla prima metà di segmento, dopo 1 sec è nella seconda. Quindi, visto che nel nostro problema non è permesso lo scavalcamento, condizione necessaria e sufficiente affinchè arturo ritornia al suo posto è che ci siano 50 formiche alla sua sinistra e 50 alla sua destra.

per i punti 2 e 3 work in progress

[Nonno Bassotto]

ok, gordio. Ora guarda cosa cambia negli altri casi.
Ciao

[gordio]

eccomi! per il punto 2 dovrebbe andar bene questa:

Arturo dopo 1 sec ritorna nel suo punto di partenza se e solo se tutte le formiche viaggiano nello stesso verso (orario o antiorario) oppure se quelle che viaggiano in senso orario sono tante quante quelle che viaggiano in senso orario. Infatti supponiamo che non tutte le formiche abbiano lo stesso senso di marcia (se no è immediato): sempre facendo riferimento al problema ausiliario in cui le formiche si attraversano senza rimbalzare, abbiamo che dopo 1 sec la disposizione delle formiche è esattamente la stessa dell'inizio. Inoltre, se una formica ritorna al suo punto di partenza, allora anche tutte le altre lo fanno perchè non ci sono scavalcamenti (in pratica: o tutte o nessuna). Notiamo anche che il numero di formiche dirette in un verso e quelle dirette nell'altro sono invarianti nel tempo (si conservano ad ogni scontro). Infine, poichè abbiamo escluso il caso di formiche tutte 'concordi', ogni formica farà sicuramente meno di un giro, perchè prima o poi si scontrerà con un'altra. Adesso io avevo pensato di fare così. Lo spazio complessivo (con segno) S percorso complessivamente dalle formiche è S=S1+...+Sn con Si spazio percorso dalla i-ma formica; ma è anche S=k dove k è la differenza tra le formiche dirette in un verso e quelle dirette nell'altro, che è costante per l'invarianza detta prima. Da qui si osserva che se Si=0 per ogni i allora k è uguale a zero e quindi il numero di formiche nei due versi si equivale; d'altra parte se k=0 allora necessariamente Si=0 per ogni i, perché se ci fosse un addendo ad esempio strettamente positivo, tutti gli altri lo sarebbero (sempre perchè non si può scavalcare).
A quanto pare, se il numero totale di formiche è dispari, come nel nostro caso, l'unica speranza per arturo è che siano tutte rivolte nello stesso verso.

giusto? adesso rimane il 3. Dato che tra segmento e circonferenza è cambiato molto, mi aspetto che anche il caso della valvola riservi altre sorprese, vero?

[Nonno Bassotto]

Perfetto . Adesso manca l'ultimo punto, non dovrebbe essere troppo difficile, avendo fatto gli altri. In bocca al lupo, ciao.