Io ci sono riuscito, ma ci ho messo ANCORA di più e ho dovuto indurre due volte all'interno della proof... appena finisco di studiare LEopardi la scrivo, comunque in mezzo alla mia dimostrazione c'è un risultatino intermedio piuttosto carino...
EDIT
Va beh, Leopardi aspetterà (c'è una notte intera!), ma adesso ho voglia di scrivere la dimostrazione. Cominciamo:
Lemma 1
$ n^n \geq {(n+1)}^{n-1}, n \in \mathbb{N} $ (è questo il risultato carino di cui dicevo...
)
DIMOSTRAZIONE:
Procedo per induzione:
1) Passo iniziale, $ n=1 $: $ 1^1 \geq 2^0 $, verificato.
2) Passo induttivo. Ricordando il binomio di Newton, scriviamo la tesi come:
$ (n+1)n^n \geq {(n+1)}^n $
$ \displaystyle (n+1)n^n \geq {n \choose 0}n^n + {n \choose 1}n^{n-1}+ \cdots + {n \choose n}1^n $
Ora induciamo:
$ \displaystyle (n+2){(n+1)}^{n+1} \geq {n+1 \choose 0}{(n+1)}^{n+1} + {n+1 \choose 1}{(n+1)}^n + \cdots $
Per le proprietà dei binomiali, abbiamo che $ \displaystyle{n+1 \choose 0}=1 $ e che $ \displaystyle{n+1 \choose 1}=n+1 $. Dunque, operando in tal modo e portando a sinistra otteniamo:
$ \displaystyle n{(n+1)}^{n+1} \geq {n+1 \choose 2}{(n+1)}^{n-1} + \cdots $
Adesso svolgiamo ancora la potenza di binomio a sinistra, ottenendo:
$ \displaystyle n\left[ {n+1 \choose 0}n^{n+1} + {n+1 \choose 1}n^n + {n+1 \choose 2}n^{n-1} + \cdots \right] $ $ \displaystyle \geq {n+1 \choose 2}{(n+1)}^{n-1} + \cdots $
Ora svolgiamo l'espressione, distribuendo il fattore $ n $ raccolto a sinistra, e portiamo a sinistra gli altri elementi, raccogliendo:
$ \displaystyle{n+1 \choose 0}n^{n+2}+ {n+1 \choose 1}n^{n+1} + {n+1 \choose 2}\left[ n^n - {(n+1)}^{n-1}\right] + \cdots $, il tutto maggiore o uguale a zero.
Ora occupiamoci dell'espressione ottenuta: i primi due elementi sono sicuramente maggiori o uguali a zero, per l'ipotesi dell'insieme di appartenenza della variabile; il terzo elemento è sicuramente positivo o pari a zero, in quanto, inducendo, abbiamo posto come vero che $ n^n \geq {(n+1)^{n-1} $. Anche gli altri elementi sono tutti maggiori o uguali a zero, infatti essi sono tutti del tipo: preso un qualunque $ k \in \mathbb{N} $ tale che $ 0 < k < n $:
$ \displaystyle n^{n-k} - {(n+1)}^{n-1-k} = \frac{1}{n^k}n^n - \frac{1}{{(n+1)}^k}{(n+1)}^{n-1} \geq 0 $
Ma, per ovvie ragioni, il coefficiente che moltiplica il primo addendo è maggiore del coefficiente che moltiplica il secondo, quindi, ancora banalmente per una proprietà basilare delle diseguaglianze, quelle espressioni sono maggiori o uguali a zero per qualunque valore di $ k $. Ora, siccome tutti gli elementi dell'espressione sono maggiori o uguali a zero, l'espressione tutta è maggiore o uguale a zero e la tesi è provata per induzione.
Teorema
Dimostrare che:
$ \displaystyle {(2n^2+3n+1)}^n \geq 6^n{(n!)}^2 $
Ragiono per induzione.
1) Passo iniziale, $ n=1 $. Si verifica rapidamente che $ 2+3+1 \geq 6 \cdot 1 $.
2) Passo induttivo, $ n \Rightarrow n+1 $. Otteniamo, svolgendo qualche rapido calcolo:
$ {(2n^2+7n+6)}^{n+1} \geq 6^{n+1} \cdot {[(n+1)!]}^2 $
Riscriviamo l'espressione come:
$ {(2n^2+7n+6)}^n (2n^2+7n+6) \geq 6 \cdot 6^n \cdot {(n+1)}^2 \cdot {(n!)}^2 $
Ora, per poter continuare nella proof, dobbiamo introdurre il
Lemma 2
$ {(2n^2+7n+6)}^{n+1} \geq {(2n^2+3n+1)}^n (6n^2+12n+6) $
Scriviamo la tesi in questo modo:
$ {(2n+3)}^{n+1}{(n+2)}^{n+1} \geq 6{(n+1)}^{n+2} {(2n+1)}^n $
Adesso moltiplichiamo ambo i membri per $ (2n+1) $ e riscriviamo ancora la tesi in questo modo:
$ {(2n+3)}^{n+1}{(n+2)}^{n+1}(2n+1) \geq 3{(n+1)}^{n+2} 2{(2n+1)}^{n+1} $
Ora, per dimostrare la tesi, dimostriamo che valgono le disuguaglianze che otteniamo studiando particolari combinazioni degli elementi in gioco.
Lemma 2.1
$ (2n+1){(n+2)}^{n+1} \geq 3{(n+1)}^{n+2} $
Scriviamo l'espressione in questo modo:
$ (2n+1){(n+1 + 1)}^{n+1} \geq 3{(n+1)}^{n+1}(n+1) $
Ora svolgiamo le potenze dei binomi, con Newton; otteniamo:
$ \displaystyle (2n+1) {n+1 \choose 0}{(n+1)}^{n+1} + {n+1 \choose 1}{(n+1)}^n + \cdots $$ \geq (3n+3){(n+1)}^{n+1} $
A questo punto, grazie alle proprietà dei binomiali sopra citate, possiamo arrivar, raccogliendo dove possibile, a:
$ (4n+2){(n+1)}^{n+1} + \cdots \geq (3n+3){(n+1)}^{n+1} $
Tale espressione è sempre verificata nei naturali e il lemma è dimostrato.
Lemma 2.2
$ {(2n+3)}^{n+1} \geq 2{(2n+1)}^{n+1} $
Scriviamo la tesi in questo modo:
$ {(2n+1 + 2)}^{n+1} \geq 2{(2n+1)}^{n+1} $
Ora svolgiamo la potenza di binomio del membro sinistro e operiamo sull'espressione, ricordando le proprietà dei binomiali:
$ {(2n+1)}^{n+1} + {(2n+1)}^{n+1} + {(2n+1)}^n + \cdots $$ \geq 2{(2n+1)}^{n+1} $
La disuguaglianza ottenuta è sempre vera nei naturali e il lemma è dimostrato.
Dunque, per le due dimostrazioni precedenti, segue direttamente la prova per il Lemma 2.
Tornando al teorema
Adesso possiamo scrivere il passo induttivo in questo modo, ricordando quanto appena ottenuto:
$ {(2n^2+7n+6)}^{n+1} \geq $$ {(2n^2+3n+1)}^n(6n^2+12n+6) \geq 6 \cdot 6^n \cdot {(n+1)}^2 \cdot {(n!)}^2 $
Ci occupiamo della diseguaglianza tra le ultime due espressioni. Ricordando l'ipotesi induttiva del teorema, abbiamo che, sicuramente: $ {(2n^2+3n+1)}^n \geq {(2n^2+3n+1)}^n \geq 6^n \cdot {(n!)}^2 $. Ci resta solo da verificare che $ 6n^2+12n+6 \geq 6{(n+1)}^2 $. Ma questa è chiaramente un'identità, dunque la diseguaglianza larga è verificata...
...e la tesi (quella finale, sì) è provata. Per induzione, sì.
).. 
