OliForum Matematico

non è propriamente un esercizio, ma un dubbio che mi è venuto oggi sul pullman e non riesco a togliermi di mente...

insomma, se, per esmpio, io volessi calcolare la forza di attrazione tra me e la Terra la formula sarebbe ovviamente:
F = (G * M* m)/d^2
in questo caso la distanza d coinciderebbe con il raggio terrestre visto che non sto volando...

ma, se io mi trovassi per esempio al centro della terra (beh, supponendo di poterci arrivare e non sciogliermi prima), quale sarebbe la forza di attrazione?

in tal caso la distanza tra me e il centro della terra è nulla, ma allora usando la formula ho un frazione con denominatore 0!!!

e quindi???

La formula si riferisce all'attrazione di due masse puntiformi (a proposito, nella formula hai dimenticato di scrivere il segno di frazione).
Se tu sei al centro della terra, volendo semplificare visto che sei piccolo ti considero un punto materiale, ma terra invece che è tutta intorno la devo considerare costituita da moltissimi punti materiali che ti circondano. Ciascuno di questi punti agisce su di te attirandoti. Ma siccome ognuno di essi tira dalla sua parte, la somma di tutti questi contributi di attrazione è nulla (sono vettori la cui somma è zero per ragioni di simmetria sferica). Dunque al centro della terra non hai peso. Quando studierai gli integrali la cosa ti sembrerà più chiara.

flavio si riferisce alla somma di infiniti punti di massa infinitesima (gli integrali appunto)! se tu consideri che ogni punto abbia una massa piccolissima ognuno di essi funge da centro di gravità fra te, lui e tutti gli altri punti che lo circondano! sommando le infinite componenti lungo le infinite direzioni degli infiniti vettori di forza di attrazione si arriva al risultato che ti ha detto flavio, cioè si ha lo stesso effetto come se tutta la massa della terra fosse concentrata in un unico punto e più precisamente il suo baricentro; logico quindi che se sei su quel punto fra te e quel punto non c'è attazione gravitazionale: è come se la terra fosse attratta da se stessa; sarebbe un assurdo fisico!

In breve, se ben ricordo:

Sulla Terra, F=G * M * m / R² con R = Raggio
In "mezzo" alla Terra: F=G * M * m / d² con d=tua distanza dal centro
Al centro della Terra F=0

Dentro una sfera cava di materiale omogeneo F=0

C'è qualcosa di sbagliato nelle formule.
Dallo spazio più lontano fino alla superficie terrestre vale la legge dell'inverso del quadrato della distanza $ \frac{GMm}{r^2} $, dove r è la distanza dal centro della terra. Sulla superficie della terra c'è il valore massimo della forza di attrazione e vale $ \frac{GMm}{R^2} $ dove R è sempre la distanza dal centro della terra e, in questo caso, è proprio il raggio terrestre. Scendendo all'interno della terra la forza di gravità scende linearmente con la distanza (d) dal centro: $ \frac{GMm}{R^2}\frac{d}{R} $ (R è sempre il raggio terreste). Ad esempio a metà del raggio terrestre (d=R/2) c'è metà della gravità che c'è in superficie. Quando d=0 (centro della terra) la gravità assume valore zero.

La forza di gravità al centro della terra è zero perchè all'interno del raggio terrestre la legge di gravità è lineare con la distanza dal centro, mentre fuori va con il reciproco del quadrato.

Si può anche trovare una stretta analogia con il campo elettrico generato da una sfera con densità di carica spaziale uniforme: all'interno ha legge lineare, all'esterno legge proporzionale al reciproco del quadrato della distanza. Queste relazioni si possono ricavare con integrali di volume per via del principio di sovrapposizione oppure con il noto teorema di gauss che nel caso di densità uniforme e simmetria sferica è abbastanza banale.

Domanda: esiste ed ha un nome ben definito un analogo teorema di gauss per la forza gravitazionale?
ricordo che la dimostrazione del teorema di gauss per l'eletrostatica passa attraverso la definizione di angolo solido, se non esistesse un teorema analogo per la gravità sarebbe possibile utilizzare una dimostrazione analoga a quella di gauss...fatta da noi?

Temo che la legge di Gauss sia generale e quindi possa applicarsi tanto al campo elettrico quanto a quello gravitazionale, senza necessariamente cambiare nome.
L'analogia tra i due campi è molto stretta (ad esempio si può parlare anche di potenziale gravitazionale, del tutto analogo al potenziale elettrico, ecc.), con l'unica differenza che nel caso gravitazionale la forza di interazione è sempre attrattiva. Per il resto vale quanto dici tu. Per cui applicando il teorema della divergenza (detto anche di Gauss), salta fuori l'ulteriore analogia: nel campo elettrico la divergenza del vettore spostamento $ D $ è uguale alla densità di carica $ \varrho_{c} $, mentre nel campo gravitazionale la divergenza del vettore gravitazione $ g $ è uguale alla densità di massa $ \varrho_{m} $.

grazie a tutti, almeno ora ho le idee già un po' più chiare!

Per dare un piccolo contributo .....

sa hai una sfera cava di piccolo spessore (solo la buccia) con massa uniformemente distribuita , l'attrazione gravitazionale prodotta dalla sfera:
- all'interno è nulla
- all'esterno equivale a quella prodotta dall'intera massa concentrata nel centro della sfera.
Questo si può dimostrare, considerando la legge dell'inverso della distanza, sommando gli effetti delle singole porzioni di buccia.
Quindi, se sei all'interno della Terra (a distanza $ r $ dal centro) la forza di attrazione prodotta da tutti gli strati più superficiali di te (tra $ r $ e $ R $) si annulla e l'attrazione è prodotta solo dalla massa della sfera di raggio $ r $.
Se sei nel centro tale massa è nulla.

ciao

Hai ragione Flavio5x !!!