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poligoni regolari
Inviato: 21 mag 2006, 17:59
da pic88
esistono poligoni regolari non quadrati con tutti i vertici a coordinate entrambe intere?
(chi è stato allo stage di napoli l'anno scorso lo ha risolto?)
Inviato: 09 giu 2006, 22:59
da gianmaria
No, non esistono ed ecco la dimostrazione.
Il poligono regolare abbia lato $ l $, angolo interno $ \alpha $, vertici (in senso antiorario) $ A_1, A_2, \ldots, A_n $con $ A_i(x_i, y_i) $. Sia $ \beta $l’angolo fra $ A_1A_2 $e il semiasse x positivo. Si ha
$ x_2-x_1=l \cos \beta $
$ y_2-y_1=l \sin \beta $
Con facili ragionamenti si vede che la retta $ A_2A_3 $ è inclinata dell’angolo $ \gamma= \beta+ \pi- \alpha $. Quindi
$ x_3-x_2=l \cos \gamma= \ldots= $ $ -l \cos \beta \cos \alpha-l \sin \beta \sin \alpha=-(x_2-x_1) \cos \alpha-(y_2-y_1) \sin \alpha $
$ y_3-y_2=l \sin \gamma= \ldots= $ $ -l \sin \beta \cos \alpha+l \cos \beta \sin \alpha=-(y_2-y_1) \cos \alpha+(x_2-x_1) \sin \alpha $
Queste ultime formule possono essere considerate come un sistema nelle incognite $ \sin \alpha, \cos \alpha $. Poiché il sistema è di primo grado, a coefficienti interi e determinante non nullo, le soluzioni sono due numeri razionali; a parte i multipli dell’angolo retto, questo può avvenire solo per angoli che hanno un rapporto irrazionale con l’angolo giro e quindi non per i poligoni regolari.
L’affermazione “può avvenire solo…” è normalmente accettata senza discussioni e di conseguenza chiude il problema; chi ne dubitasse può vedere ai topics da me proposti “Rapporti goniometrici irrazionali” in Matematica non elementare e “I seni dei multipli sono diversi” in geometria: si riferiscono ad un caso particolare ma possono facilmente essere generalizzati. Se non vi è chiaro, chiedete.