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vi prego di aiutarmi a risolvere il seguente problema:
in un serbatoio di altezza 3m,colmo di un fluido si pratica un foro ad una distanza H dalla superfiie libera in modo tale che la distanza d alla quale il getto del fluido colpisce il pavimento sia la massima possibile,calcola il valore di questa distanza e l'altezza h in tali condizioni

grazie

Mi sembra che la posizione migliore sia a metà serbatoio e l'estensione orizzontale max del getto sia l'altezza del serbatoio. Ma verificate...


ciao

una figura faciliterebbe la soluzione, ad ogni modo provo a spiegarmi:

applica il principio di bernoulli;
Il principio di bernoulli dice:
$ \[ p_1 + \frac{1} {2}dv_1 ^2 + dgh_1 = p_2 + \frac{1} {2}dv_2 ^2 + dgh_2 \] $

dove p è la pressione esterna, v la velocità, d la densità del fluido, h l'altezza;
le grandezze ad indice 1 si rifericono alla superficie, quelle di indice 2 al foro.

usando la legge di leonardo si vede che, sulla superificie la velocità del liquido è
$ \[ v_1 \approx 0 \] $ (quindi sostituisci v1 con 0)
inoltre la pressione sulla superficie è quella atmosferica, quella sul foro è ancora quella atmosferica(quindi p_1=p_2 e semplifichi). la differenza tra le altezze è H (incognita).
allora
$ \[ v_2 = \sqrt {2g(h_1 - h_2 )} = \sqrt {2gH} \] $

trova la distanza d in funzione di H (si tratta di intersecare una parabola con una retta) e vedi per quale valore di H d è massimo.
allora fai:

$ \[ \begin{gathered} x = v_2 t \hfill \\ y = - \frac{1} {2}gt^2 + (3 - H) \hfill \\ \end{gathered} \] $eliminando il parametro t ottieni
$ \[ y = - \frac{1} {2}g\left( {\frac{x} {{v_2 }}} \right)^2 + (3 - H) \] $trova il valore di x in cui y=0.

si ha $ \[ x = \sqrt {4H(3 - H)} \] $
ed il max di questo valore si ha per H= 3/2 poi sostituisci e trovi x