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Trovare tutti gli interi $ x $ tali che $ x^2+a^2 $ sia divisibile per $ x+a $ , essendo $ a $ un intero positivo.
Questo gioco è di mia invenzione e mi sembra facile; se è già stato pubblicato, cancellatelo e scusatemi.

Una perplessità... $ a $ lo consideriamo come "generico intero positivo" oppure ci è richiesto di determinare valori precisi di esso che verifichino la tesi...?

Generico. In altre parole, si chiede di determinare x in funzione di a, senza escludere soluzioni del tipo x=7, in cui a non c'entra (l'esempio è volutamente sbagliato: quella data non è una soluzione)

EDIT: come ormai succede spesso, misinterpreto la traccia. Sorry

Io ho trovato un risultato diverso... Anche se non mi convince appieno, ci provo. Scrivo usando le frazioni perché con il simbolo di "divide" mi trovo ancora poco

Dunque:

Vogliamo trovare per quali valori di $ x $ il rapporto:

$ \displaystyle \frac{x^2+a^2}{x+a} = h, h \in \mathbb{N} $

Operiamo in questo modo trasformando così la nostra espressione:

$ \displaystyle \frac{x^2-a^2+2a^2}{x+a} = \frac{(x-a)(x+a) +2a^2}{x+a} $

Ora distribuiamo e otteniamo:

$ \displaystyle x-a + \frac{2a^2}{x+a} $

Quindi dobbiamo studiare la divisibilità dell'espressione più a destra per risolvere il problema. Abbiamo dunque che $ x+a $ deve essere divisore di $ 2a^2 $. Preso un $ k \in \mathbb{N} $, possiamo scrivere la relazione anche come:

$ \displaystyle x+a= \frac{2a^2}{k} \Rightarrow x= \frac{2a^2}{k} -a $

dove chiaramente il nostro $ k $ deve essere un divisore di $ 2a^2 $...

Non mi convince molto, ripeto, ma è tutto quello che sono riuscito a combinare .

x^2+a^2=k*(x+a)

con k intero positivo.

x^2+a^2+2*a*x-2*a*x=k*(x+a)

(x+a)^2-2*a*x=k*(x+a)

[(x+a)^2-2*a*x]/(x+a)=k

(x+a)-2*a*x/(x+a)=k

Se k deve essere intero, allora (x+a)|2*a*x

Allora:

1)x+a=2 che da x=2-a
2)x+a=a che da x=0
3)x+a=x che da a=0
4)x+a=2*a che da x=a
5)x+a=2*x che da x=a
6)x+a=2*a*x che da unica soluzione x=1 e a=1

1)x=2-a
2-a+a|4+a^2-4*a+a^2

2|4+2*a^2-4*a

che è divisibile per 2.


2)a|a^2

accettabile.

3)x|x^2

accettabile.

4-5)2*a|2*a^2

accettabile

6)x+a|x^2+a^2

2|2

accettabile.

Soluzioni:

1)x=2-a
2)x=0 per ogni a.
3)a=0 per ogni x.
4-5)x=a
6)x=1 a=1 che può essere ricondotto alla soluzione precedente

Alex89 ha scritto: Soluzioni:

1)x=2-a
2)x=0 per ogni a.
3)a=0 per ogni x.
4-5)x=a
6)x=1 a=1 che può essere ricondotto alla soluzione precedente

Le soluzioni devono essere nei naturali:
0 generalmente non è considerato un naturale, la 5) e la 6) sono la stessa cosa(come avevo detto nella mia soluzione x=a), per quando riguarda la 1 se $ a\geq 2\Rightarrow x\not\in \mathbb N $

Trovare tutti gli interi $ x $ tali che $ x^2+a^2 $ sia divisibile per $ x+a $ , essendo $ a $ un intero positivo.
Questo gioco è di mia invenzione e mi sembra facile; se è già stato pubblicato, cancellatelo e scusatemi.

Poichè nella traccia c'era scritto solo interi, avevo capito(male?) anche per x negativi.

Poi che la 5 e la 6 fossero la stessa cosa l'ho scritto, quando ho detto:

che può essere ricondotto alla soluzione precedente

Alex89 ha scritto:Poichè nella traccia c'era scritto solo interi, avevo capito(male?) anche per x negativi.

Uhm forse ho misinterpretato io "interi " con $ n \in\mathbb N $. Se così fosse ti chiedo scusa e la mia dimostrazione si può buttare:)

Ani-sama ha scritto:
Quindi dobbiamo studiare la divisibilità dell'espressione più a destra per risolvere il problema. Abbiamo dunque che $ x+a $ deve essere divisore di $ 2a^2 $. Preso un $ k \in \mathbb{N} $, possiamo scrivere la relazione anche come:

$ \displaystyle x+a= \frac{2a^2}{k} \Rightarrow x= \frac{2a^2}{k} -a $

Ani forse sbaglio io(succede spesso di recente:P) ma così stai dimostrando che se x è un intero allora esisterà un intero k che divide 2a^2, ma ancora non hai dimostrato che x lo sia. Correggetemi se sbaglio

Diciamo che "$ x $ è intero se esiste quel $ k $ che divide $ 2a^2 $". Quest'ultima affermazione mi pare ovvia, nel senso... $ a $ è sicuramente intero, e allora perche la nostra $ x $ sia intera $ k $ deve essere per forza divisore di $ 2a^2 $... È che non avendo dati precisi sulla natura di $ a $, non riesco a formulare una soluzione altrettanto precisa! Poi magari c'è e non so trovarla, però...

Ani-sama ha scritto:Diciamo che "$ x $ è intero se esiste quel $ k $ che divide $ 2a^2 $". Quest'ultima affermazione mi pare ovvia, nel senso... $ a $ è sicuramente intero, e allora perche la nostra $ x $ sia intera $ k $ deve essere per forza divisore di $ 2a^2 $... È che non avendo dati precisi sulla natura di $ a $, non riesco a formulare una soluzione altrettanto precisa! Poi magari c'è e non so trovarla, però...

forse potresti iniziare a vedere i casi in cui a è un primo, così hai solo 6 possibilità per k, da li in poi magari ti viene in mente qualcosa..

EDIT: avevo dimenticato un caso

La mia soluzione era simile a quella di Ani-sama, ma non avevo considerato il caso in cui a non è primo; grazie per averlo segnalato. Ecco qual'era:
Il resto della divisione, calcolato con la regola di Ruffini. è $ 2a^2 $, quindi $ x+a $ deve essere un suo divisore cioè, a parte il segno, valere $ 1, 2, a, 2a, a^2 $ o $ 2a^2. $ Le soluzioni sono quindi $ -a \pm 1; -a \pm 2; -a \pm a; -a \pm 2a; -a \pm a^2; -a \pm 2a^2 $
Quindi per a primo ci sono 12 soluzioni (per particolari valori di a, ad esempio per a=1, alcune di esse possono coincidere); per a non primo se ne aggiungono altre dozzine, rendendo il lavoro noioso: senz'altro conviene modificare l'enunciato dicendo che a è un numero primo.

Ripensandoci, è facile scrivere il risultato anche con a non primo. Se la scomposizione in fattori primi di a è $ a= {b_1}^{n_1}{b_2}^{n_2} \dots {b_m}^{n_m} $, allora tutte la soluzioni sono date da $ x=-a \pm A{b_1}^{k_1}{b_2}^{k_2} \dots {b_m}^{k_m} $, dova A vale 1 o 2 e $ k_i $ è un intero compreso fra 0 e $ 2n_i $ inclusi.