OliForum Matematico

Salve a tutti,

qualcuno sa, così "a botta", qual è il gruppo fondamentale
di R^2-{1 punto}? e di R^2-{n punti}?

p.s.
ma come si mettono i simboli?

Saluti

A botta direi Z e Z^n

per n=1 penso anch'io che sia Z... alla fine intuitivamente si tratta di contare quante volte un cammino gira intorno al punto che abbiamo tolto...

però per n>1 credo debbano uscire gruppi non abeliani, forse costruibili tramite prodotti semidiretti di Z.

Mai fidarsi delle prime impressioni....
in generale se togli n punti trovi il gruppo libero su n generatori (che nel caso 1 "è" Z)... questo perchè, detto molto alla buona, fa differenza intorno a chi stiamo girando

si.. intuitivamente infatti avevo capito...
ma chi è il gruppo libero ad n generatori?
non l'ho mai sentito..

comunque grazie

in pratica:
$ \underbrace{\mathbb{Z} \otimes \ldots \otimes \mathbb{Z}}_{n \ \textrm{volte}} $

dunque.. il prodotto libero $ G*H $ (ha definizioni precise, in termini di proprietà fondamentali, quindi categorie, oggetti e frecce) è "il più piccolo gruppo" che contiene entrambi i gruppi come sottogruppi, senza _alcuna_ relazione tra gli elementi dei due gruppi.
più informalmente ancora, è l'insieme di "parole" a elementi nei due gruppi.
ad esempio, $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}*\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ è il gruppo di parole (finite) a lettere in $ {a,b} $, con la regola che $ aa = bb $ sia la parola vuota. questo perché identifichi $ a $ con l'elemento non nullo del primo $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $, e $ b $ con l'elemento non nullo del secondo..
insomma, spero che tu abbia capito. :p
il gruppo libero a $ n $ generatori, che di solito si indica con $ F_n $, è definito "ricorsivamente" in questo modo: $ F_0 = (e), F_{n+1} = F_n*\mathbb{Z} $.

se ti interessa la dimostrazione...
intanto dimostri che $ \mathbb{R}^2 \setminus \{x_1, \dots, x_n\} $ è omeomorfo a $ X'=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,1), (0,2), \dots, (0,n)\} $, quindi ha lo stesso gruppo fondamentale. poi dimostri che il bouquet di $ n $ circonferenze è un retratto di deformazione di $ X' $, e quindi ancora ha lo stesso gruppo fondamentale, e poi dimostri (per induzione, usando appunto van kampen) che il gruppo fondamentale del bouquet è quello voluto..
naturalmente, manca il caso base.
ma prendi il rivestimento universale (il rivestimento $ p:\mathbb{R}\to S^1, p:t\mapsto e^{2\pi it} $), e ci giochi un po'...
insomma, guardati qualunque (o quasi) libro di topologia, e queste cose le trovi formalizzate (e non alla cazzo come le sto scrivendo io)

grazie mille....
informalmente ho capito... e per ora mi vada questo

Salve.. domani ho un esame di topologia e mi serve sapere cos'è un gruppo libero. chi può dirmelo?

grazie mille!

Un qualunque gruppo può essere definito in termini di generatori e relazioni.

Un gruppo è libero se non ha relazioni [a parte quelle banali].

In generale, se hai g generatori $ a_1, a_2, \dots, a_g $, ottieni che il gruppo libero da essi generato è sostanzialmente l'insieme delle stringhe costruite con l'"alfabeto"
$ a_1, \dots, a_g, a_1^{-1}, \dots a_g^{-1} $, con le regole di cancellazione ovvie (un elemento e il suo inverso consecutivi si cancellano, ecc...). Il prodotto è dato dalla giustapposizione di stringhe. L'elemento neutro è la stringa vuota.

Se c'è un solo generatore, allora il gruppo libero è isomorfo a Z