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Sia dato un quadrilatero convesso $ ABCD $. Siano $ I $ l'incentro di $ ABC $ e $ J $ l'incentro di $ BCD $.
La retta $ IJ $ incontri i lati $ AB $ e $ CD $ rispettivamente in $ E $ ed $ F $. Detto $ P $ l'incontro tra $ AB $ e $ CD $.

Dimostrare che $ ABCD $ è ciclico sse $ PF=PE $

lemmino-ino-ino: se ABC è un triangolo e I è il suo incentro, allora $ \widehat{AIB}=\frac {\pi}2+\frac{\widehat{ACB}}2 $.
dim: nel triangolo AIB, la somma degli angoli fa 180, da cui la tesi.


chiamo $ \alpha,\beta,\gamma,\delta $ gli angoli di ABCD
supponiamo PF=PE.
Quindi PEF è isoscele, e $ \widehat{PEF}=\widehat{PFE} $ da cui $ \widehat{BEF}=\widehat{CFE}=\theta $.
Ma allora $ \widehat{BIJ}+\widehat{BCJ}=\widehat{CJI}+\widehat{CBI}=\frac {\beta}2+\frac {\gamma}2 +\theta $ ossia $ BCJI $ è ciclico.
Quindi $ \widehat{BIC}=\widehat{BJC} $, ma per il lemmino-ino-ino anche $ \widehat{BAC}=\widehat{BDC} $ e allora ABCD è ciclico.

Se PF=/=PE allora in modo analogo BCJI non sarà ciclico, e quindi non lo sarà nemmeno ABCD.