OliForum Matematico

1) trovare tutti gli interi $ a,b $ tali che $ 2^{2^a-b^2}+1997 $ sia primo ed intero
2) trovare tutte le soluzioni intere $ (x,y) $ di $ 2x^4+1=y^2 $
ciao ciao

Questo me l'aveva detto Kirill a mensa al preIMO, sembra molto peggio di ciò che effettivamente è:

pi_greco_quadro ha scritto:1) trovare tutti gli interi $ a,b $ tali che $ 2^{2^a-b^2}+1997 $ sia primo ed intero

Anzitutto i casi spinosi:
$ a<0 $ l'esponente non è intero quindi nemmeno la potenza di 2 quindi nemmeno il numero.

$ a=0 $ avremo che necessariamente $ b:=\{0,1\} $ sennò non avremmo un intero e generiamo la coppia di soluzioni $ (0,0) $ l'altra invece rende un numero pari.

$ a=1 $ ancora $ b:=\{0,1\} $ quindi abbiamo la soluzione $ (1,1) $ l'altra da un numero non primo cioè $ 2001 $ multiplo di $ 3 $

Ora supponiamo $ a>1 $

se fosse $ b $ pari avremmo che $ 2^{2^a-4k^2}=2^{2(2^{a-1}-2k^2)}\equiv 1\pmod 3 $ quindi l'espressione sarebbe multipla di $ 3 $ ed evidentemente maggiore di esso quindi non prima.

se fosse $ b $ dispari avremmo $ 2^{2^a-(2k+1)^2}=2^{4(2^{a-2}-b(b+1))-1}}\equiv -2\pmod 5 $ quindi il nostro numero è multiplo di $ 5 $ ed evidentemente maggiore di esso, quindi non primo.

Riassumendo abbiamo le soluzioni $ (a,b)=(0,0),(1,1) $

ok Boll.... un piccolo dettaglio, ma forse nemmeno tanto piccolo... le soluzioni sono
$ (a,b)=(0,0);(1,\pm 1) $.. non sei d'accordo?

Mi ero dimenticato che $ b $ fosse intero relativo, cmq tutto il resto rimane ok, sicuramente sarei riuscito a perdere un punto (tanto per cambiare)

pi_greco_quadro ha scritto: 2) trovare tutte le soluzioni intere $ (x,y) $ di $ 2x^4+1=y^2 $

$ 2x^4=(y-1)(y+1) $. y dev'essere chiaramente dispari, quindi $ y=2k+1 $ e l'espressione diventa $ x^4=2k(k+1) $. Ma abbiamo che
$ MCD(k,k+1)=1 $, quindi il membro di destra non può essere un quadrato perfetto a meno che $ x=0 $. Quindi le uniche soluzioni sono $ (x;y)=(0,\pm 1) $

in realtà tu dici che, se $ (k,k+1)=1 $ allora $ 2k(k+1) $ non può essere un quadrato perfetto, il che non è vero, per esempio per $ k=1,8 $ e così via... le soluzioni trovate sono giuste,la dimostrazione no... dovresti dimostrare che $ 2k(k+1) $ non può essere ua quarta potenza a meno che.... alla fine è solamente una catena di congruenze e considerazioni su di esse...

ops hai ragione, allora provo così:

essendo k e k+1 coprimi, perchè $ 2k(k+1) $ sia una quarta potenza si deve avere che uno tra k e k+1 sia già una quarta potenza e l'altro sia nella forma $ 2^{4n-1} $. Distinguiamo 2 casi

1) $ k=2^{4n-1} \rightarrow x^4=2^{4n}(2^{4n-1}+1) $ e per quanto detto prima, si deve avere $ 2^{4n-1}+1=p^4 \rightarrow 2^{4n-1}=(p^2+1)(p^2-1) $. Ma $ p^2+1,p^2-1 $ devono essere entrambi potenze di due, ma le uniche potenze di due consecutive sono 2 e 4, che non funzionano

2) $ k+1=2^{4n-1} \rightarrow x^4=2^{4n}(2^{4n-1}-1) $. Ora
$ 2^{4n-1}-1=p^4 $. p dev'essere chiaramente dispari, ma allora si ha che
$ p^4 \equiv 1 \mod 16 $, mentre $ 2^{4n-1} \equiv 0 \mod 16 $, se $ n>1 $, quindi anche in questo caso non si hanno soluzioni