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Provare che se l'incentro di un triangolo ABC giace sulla retta di Eulero allora ABC è isoscele.

vector power!

(tutte le lettere maiuscole sono vettori, e uso A*B per il prodotto vettoriale)
prendiamo il circocentro $ O $ come origine. poiché $ H=A+B+C $, per appartenere alla retta $ OH $, se $ I $ è l'incentro allora si deve avere $ I*H=0 $, ossia $ \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}*(A+B+C)=0 $.

Quindi

$ (aA+bB+cC)*(A+B+C)= $$ (a-b)(A*B)+(b-c)(B*C)+(c-a)(C*A)=0 $

$ \displaystyle \sum_{cycl}(a-b)\sin{2\gamma}=0 \longrightarrow $$ \displaystyle \sum_{cycl}(a-b)\sin{\gamma}\cos{\gamma}=0 \longrightarrow $$ \displaystyle \sum_{cycl}\frac{c(a-b)(a^2+b^2-c^2)}{2ab}=0 \longrightarrow $$ \displaystyle \sum_{cycl}c^2(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0 $

ora facciamo un po' di sani contazzi, e la nostra brutta somma ciclica diventa

$ \sum c^2(a-b)(a^2+b^2-c^2)= $$ (a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) $

l'ultima quantità si annulla solo se due lati sono uguali fra loro, cioè solo se il triangolo è isoscele

euclidean rulez!



Supponiamo che il triangolo sia scaleno. E acutangolo.
E' abbastanza noto che ^BAH = ^CAO. Infatti ^BAH = 90° - ^ABC (per l'angolo retto dell'altezza), ^COA = 2 * ^ABC, ^CAO = 90° - ^ABC.
Concludiamo che AI è la bisettrice di ^BAC, ma anche di ^HAO!
Lo stesso per gli altri lati.

Se H,I,O sono allineati, per le proprietà della bisettrice avremmo:
$ \frac {AH} {AO} = \frac {HI} {IO} $. E così per tutti gli altri lati.
Mettendo assieme:
$ \frac {AH} R = \frac {BH} R = \frac {CH} R $, quindi AH = BH = CH.
Da questo discende subito che AB = BC = BA, essendo $ AB = \frac {2(ABC)} {AH} $.
Quindi il nostro scaleno è equilatero, assurdo.

Per il caso ottusangolo cambia il disegno:

BI è la bisettrice di ^OBH e lo stesso per CI, da cui come prima BH = CH e AB = BC, quindi il nostro scaleno sarebbe isoscele.