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Sia $ ABC $ un triangolo di lati $ a,b,c $. Indichiamo con $ R $ il raggio della circonferenza circoscritta e con $ r_a,r_b,r_c $ i raggi delle circonferenze ex-inscritte.

Dimostrare che:
$ \displaystyle \frac 92 \frac {abc} {a+b+c} \le (r_a+r_b+r_c)R $

Si ha:
$ $r_x=\frac{S}{p-x},R=\frac{abc}{4S},\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}\geq \frac{9}{u+v+w} $
Pertanto il secondo membro H della relazione diventa:
$ $H=\left(\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}\right)\frac{abc}{4S}=\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\frac{abc}{4} $
Da cui:
$ $H\geq \frac{9}{3p-2p}\frac{abc}{4}=\frac{9}{2}\frac{abc}{a+b+c} $
leandro