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E dimostriamolo una volta per tutte :

1) Dimostrate che l'irrazionalità di $ \sin(2\pi/n) $ o di $ \cos(2\pi/n) $ per n primo dispari e n=8 implica l'irrazionalità di $ \sin(2\pi/n) $ o di $ \cos(2\pi/n) $per ogni $ n\geq3,\ n\neq4 $

2) Trovare un polinomio a coefficienti razionali di grado $ p-1 $ che abbia $\sin\left(\frac{2\pi}{p}\right)$ (idem per il coseno) come radice, con p primo maggiore di 3.

3) Dedurre dal punto 2) che $\sin\left(\frac{2\pi}{p}\right)$ e $ \cos(\frac{2\pi}{p}) $ non possono essere entrambi razionali con p primo maggiore di 3.

Uhm... ma $ \sin(2\pi/12) $ non valeva 0.5 una volta?

Ehm, sì, intendevo o il seno o il coseno o entrambi irrazionali per ogni n come detto.

hmm a quanto pare il problema non interessa a nessuno ... cmq, in breve,
$ \sin(n\alpha)={n\choose 1}\cos^{n-1}\alpha\sin\alpha-{n\choose 3}\cos^{n-3}\alpha $$ \sin^3\alpha+\ldots+(-1)^\frac{n-1}{2}\sin^n\alpha $
Inoltre, se n,k sono dispari (n-k)/2 è intero e quindi possiamo scrivere
$ \cos^{n-k}\alpha=(\cos^2\alpha)^\frac{n-k}{2} $ e dunque, posto $ \sin\alpha=x $, otteniamo il polinomio
$ \sin(n\alpha)={n\choose 1}(1-x^2)^\frac{n-1}{2}x-{n\choose 3}(1-x^2)^\frac{n-3}{2}x^3+\ldots+(-1)^\frac{n-1}{2}x^n $
ora, se $ \alpha=\frac{2\pi}{n} $, si ha, dividendo per x,
$ 0={n\choose 1}(1-x^2)^\frac{n-1}{2}-{n\choose 3}(1-x^2)^\frac{n-3}{2}x^2+\ldots+(-1)^\frac{n-1}{2}x^{n-1} $
Il termine noto di questo polinomio è n, mentre il coefficiente di $ x^{n-1} $ è $ 2^{n-1} $.
Quindi x, se è razionale, deve essere della forma $ p/q $ con $ p\mid n $ e con $ q\mid 2^{n-1} $ quindi $ p\in\{1,n\} $ e $ q\in\{1,4,8,\ldots,2^{n-1}\} $. Considerando i casi p=1, p=n, si vede, grazie al teorema di pitagora, che seno e coseno non possono essere entrambi razionali, con le ipotesi su n dette nel primo post.