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ciao

come posso calcolare $ $ \frac{d}{dx} \int_0^x e^{-(x+t)^2}dt$ $??

considerando x costante si ha:
$ \[ \int\limits_0^x {e^{ - (t + x)^2 } } dt = \int\limits_x^{2x} {e^{ - t^2 } } dt \] $
ora, detta $ G $ una primitiva di $ e^{-t^2} $ l'integrale cercato diventa
$ G(2x)-G(x) $ e la sua derivata rispetto a x è:

$ \frac{d}{dx}G(2x)-\frac{d}{dx}G(x) $
$ =2e^{-4x^2}-e^{-x^2} $

non mi torna la prima uguaglianza

$ \[\displaystyle \int_a^b {f(x)dx = \int_{a + k}^{b + k} {f(x - k)d(x - k)} } = \int_{a + k}^{b + k} {f(x - k)dx} \] $

intuitivamente: se l'integrale definito rappresenta un'"area" (in senso algebrico, cioè con segno che può essere negativo) allora la formula si spiega operando una traslazione del grafico della f(x). il grafico di f(x-k) è quello di f(x) traslato verso destra di k, per cui...