OliForum Matematico

Calcolare:

$ \int e^{x²} dx $

Ehm ...
$ \displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}\textrm{erfi}(x)} $
dove erfi c'entra non poco con erf e con l'unità immaginaria i.

COs'è erf? c'è un metodo "standard" per risolvere?

??
"standard" che intendi?

è famoso quell'integrale... lo sanno tutti che non si esprime tramite funzioni elementari (esponenziali, logaritmi, trigonometriche e similia).. tant'è che gli
si dà un nome a parte (vedi Galois)

allora ... dalla teoria sai che la funzione
$ F(x)=\int_0^xe^{t^2}dt $ 
è definita per ogni x reale ... purtroppo non è possibile esprimerla in termini di polinomi, esponenziali, logaritmi e simili e quindi le si dà un nome, in questo caso imaginary error function (erfi) ... similmente, non si sanno "scrivere" nemmeno gli integrali di
$ \int \frac{\sin x}{x}dx $
$ \int \frac{e^x}{x}dx $
$ \int \frac{1}{\log x}dx $

(almeno così mi pare di ricordare ... il primo e il terzo si dovrebbero chiamare sinintegral e logintegral ...)

e fra l'altro il logaritmo integrale è molto importante in teoria dei numeri. Infatti una versione del teorema dei numeri primi afferma che

$ \int_2^n\frac{dx}{lnx} $ è asintotica alla funzione $ \pi(x) $ che conta i primi $ \leq x $