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date due n-uple di reali positivi, dimostrare che:

$ \[\displaystyle \sum {a_i b_i \leqslant \left( {\sum {a_i^p } } \right)^{\frac{1} {p}} \left( {\sum {b_i^q } } \right)^{\frac{1} {q}} } \] $ con $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $

per omogeneità poniamo $ \sum a_i ^p = \sum b_i^q =1 $

Quindi dobbiamo dimostrare $ \sum a_ib_i \leq 1 $

$ f(x)=ln(x) $ è concava per $ x >0 $ quindi $ \frac 1p ln(a_i^p ) + \frac 1q ln(b_i^q ) \leq ln ( \frac 1p a_i^p + \frac 1q a_i^q ) $ e quindi elevando abbiamo:

$ a_ib_i \leq \frac 1p a_i^p + \frac 1q b_i^q $ e sommando abbiamo

$ \sum a_ib_i \leq \frac 1p \sum a_i^p + \frac 1q \sum b_i ^ q = \frac 1p + \frac 1q =1 $

c.v.d.