OliForum Matematico

1) Siano $ a,b,c \in R^+ $ tali che $ ab+bc+ca = \frac 13 $

Dimostrare che:

$ \displaystyle \frac a{a^2-bc+1} + \frac b{b^2-ca+1} + \frac c{c^2-ab+1} \geq \frac 1{a+b+c} $

2) Siano $ a,b,c \in R^+ $ tali che $ ab+bc+ca = \frac 14 $

Dimostrare che:

$ \displaystyle \frac {a^2+2bc}{a^2-bc+1} + \frac {b^2+2ca}{b^2-ca+1} + \frac {c^2+2ab}{c^2-ab+1} \geq $ $ \displaystyle \frac 1{1+9\frac{abc}{(a+b+c)^3}} $ $ \displaystyle \geq \frac 34 $

edit: scusate la typo...

Con la mia solita fortuna ho iniziato dall'ultima... e non riesco a capire... il denominatore della frazione è 1+9abc/(a+b+c)^3... ed è quindi più grande di 1, perciò come fa la frazione a essere maggiore di 1? (ancora peggio, di 4/3?)
Scusate se ho detto una sciocchezza... ma questa proprio non la capisco!

Dopo aver visto le fantastiche lezioni del Winter Camp sono ansioso di provare il metodo di risoluzione con CS che ho appreso...

1)

Sostituiamo a denominatore delle 3 frazioni il vincolo, ottenendo

$ \displaystyle \sum_{cyc}\frac{a}{a(a+b+c)+\frac{2}{3}} \ge \frac{1}{a+b+c} $

e ora il mitico Cauchy!

$ \displaystyle (a+b+c)^2 = \left ( \sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a(a+b+c)+\frac{2}{3}}} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a(a+b+c)+\frac{2}{3}} \right )^2 $ $ \displaystyle \le LHS \cdot \left ( \sum_{cyc} a^2(a+b+c)+ \frac{2}{3}a \right ) $

Da cui $ \displaystyle LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+\frac{2}{3}(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+\frac{2}{3}} $

Ora poniamo $ \displaystyle RHS \geq \frac{1}{a+b+c} \implies (a+b+c)^2 \geq a^2+b^2+c^2+\frac{2}{3} $, che è vera svolgendo il quadrato e sostituendo il vincolo.

Provo la seconda.

Siano al solito $ S=a+b+c $ e $ P=abc $

1) $ \displaystyle \sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2-bc+1) $ $ \displaystyle = \sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2+3bc+4ac+4ab) $ $ \displaystyle =\frac{1}{2}\sum_{sym}a^4+21a^2bc+8a^3b+6b^2c^2 $ $ \displaystyle = (a+b+c)^4+9abc(a+b+c)=S^4+9PS $

Per C.S.
$ \displaystyle S^4 = (\sum_{cyc}(a^2+2bc))^2 $ $ \displaystyle = (\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+2bc}{a^2-bc+1}}\sqrt{\frac{(a^2-bc+1)(a^2+2bc)^2}{a^2+2bc}})^2 $ $ \displaystyle \leq LHS (\sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2-bc+1)) $

Da cui:
$ \displaystyle LHS \ge \frac{S^4}{(\sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2-bc+1))} $= $ \displaystyle \frac{S^4}{S(S^3+9P)}=\frac{1}{1+9\frac{P}{S^3}} $

2) Inoltre per AM-GM:
$ \displaystyle (\frac{S}{3})^3\ge P $
$ \displaystyle S^3\ge 27 P $
$ \displaystyle \frac{1}{4}S^3\ge\frac{27}{4}P $
$ \displaystyle S^3\ge \frac{3}{4}(S^3+9P) $
$ \displaystyle \frac{S^3}{S^3+9P} $ $ \displaystyle =\frac{1}{1+9\frac{P}{S^3}}\ge \frac{3}{4} $

da 1 e 2 ottengo:

$ \displaystyle LHS \ge $ $ \displaystyle \frac{1}{1+9\frac{P}{S^3}} $ $ \displaystyle \ge \frac{3}{4} $
che è la tesi.