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Siano $ a,b,c \in R^+ $ tali che $ ab+bc+ca=1 $

Dimostrare che :

$ \displaystyle \frac{a^3+b^3}{ab^2+a} + \frac{b^3+c^3}{bc^2+b} + \frac{c^3+a^3}{ca^2+c } \geq $ $ \displaystyle \frac {ab}{1-bc} +\frac {bc}{1-ca} + \frac {ca}{1-ab} $

Lo so non è bellissima...

$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a^3+b^3}{ab^2+a}=\sum_{cyc} \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{b(1-bc-ca)+a}= $$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(1-bc)}= $$ \displaystyle \sum_{cyc}\frac{a^2-ab+b^2}{1-bc} \ge \sum_{cyc}\frac{ab}{1-bc} \Longleftrightarrow \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{1-bc} \ge 0 $

Ottimo hydro! Proprio come l'avevo pensata io