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Si dimostri che, data una n-upla $ (x_1+x_2+\cdots+x_n) $, con $ x_1,x_2,\cdots,x_n > 0 $, allora

$ \frac{x_1}{x_2+x_3+\cdots+x_n}+\frac{x_2}{x_1+x_3+\cdots+x_n}+\cdots+\frac{x_n}{x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}}\geq\frac{n}{n-1} $

Per l'omogeneità posso porre$ \sum_{i=1}^n x_i=1 $

Inoltre $ f(x)=\frac{x}{1-x} $ è convessa (se non vi fidate derivate pure ) in [0;1] quindi per Jensen:

$ \displaystyle \frac{LHS}{n} = $ $ \displaystyle \frac{\sum_{cyc}\frac{x_1}{1-x_1}}{n} $$ \displaystyle \ge $ $ \displaystyle \frac{\sum_{cyc}\frac{x_1}{n}}{1-\sum_{cyc}\frac{x_1}{n}} $ $ \displaystyle =\frac{\frac{\sum_{cyc}x_1}{n}}{1-\frac{\sum_{cyc}x_1}{n}} $ = $ \displaystyle \frac{1}{n-1} $ $ \displaystyle =\frac{RHS}{n} $

da cui si ricava la tesi..

$ s = \sum\limits_{cycl} {x_i } $
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

$ \displaystyle \sum\limits_{cycl} {\frac{{x_i }}{{s - x_i }} = \sum\limits_{cycl} {\left( {\frac{s}{{s - x_i }} - 1} \right)} } \ge \frac{{n^2 }}{{\sum\limits_{cycl} {\frac{{s - x_i }}{s}} }} - n $$ \displaystyle = \frac{{n^2 }}{{n - \sum\limits_{cycl} {\frac{{x_i }}{s}} }} - n = \frac{{n^2 }}{{n - 1}} - n = \frac{n}{{n - 1}} $