OliForum Matematico

Visto che ultimamente ho notato ci sono un po' di esercizi in cui questoa cosa è utile ve le propongo:

Siano $ p>2 $ un primo e $ x,y \in Z $ tali che $ (x,p)=(y,p)=1 $

Dimostrare che se $ p|(x+y) $ allora $ p|\frac {x^p+y^p}{x+y} $ ma $ p^2 \nmid \frac {x^p+y^p}{x+y} $.

(importanti anche i casi particolari in cui $ y= \pm 1 $)

Simo_the_wolf ha scritto:Visto che ultimamente ho notato ci sono un po' di esercizi in cui questoa cosa è utile ve le propongo:

Siano $ p>2 $ un primo e $ x,y \in Z $ tali che $ (x,p)=(y,p)=1 $

Dimostrare che se $ p|(x+y) $ allora $ p|\frac {x^p+y^p}{x+y} $

Abbiamo che $ x =-y mod p $ e del resto $ \frac {x^p+y^p}{x+y}=x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1} $ poichè $ p $ è dispari.

Quindi $ \frac {x^p+y^p}{x+y} =x^{p-1}+x^{p-1}+...+x^{p-1} -= 0 mod p $ poichè per il piccolo teorema di Fermat $ x^{p-1} = 1 mod p $.

Ciao Ciao

Sia $ p^a $ la massima potenza di p che divide x+y. Allora si ha $ x+y=n*p^a $ con (n,p)=1.
Inoltre $ x^p+y^p=(n*p^a-y)^p+y^p $, da cui la massima potenza che divide il numeratore è quella che divide il termine di grado più basso, ossia $ p*n*p^a*y^{p-1} $ che è a+1.
La massima potenza che divide il denominatore è ovviamente a, per cui la massima potenza di p che divide il rapporto è 1.

Ciao!