OliForum Matematico

Se $ \displaystyle x+\frac1 x=3 $, quanto vale $ \displaystyle x^2+\frac1 {x^2} $?

Io ho ragionato così:

Dalla prima ho $ \displaystyle x=3-\frac1 x=\frac{3x-1} x $.

Elevando al quadrato entrambi i termini ho $ \displaystyle x^2=\frac {9x^2-6x+1} {x^2} $.

Ora, $ \displaystyle x^2+\frac1 {x^2}=\frac {9x^2-6x+1} {x^2}+\frac1 {x^2}=\frac {9x^2-6x+2} {x^2} $ giusto? Lo so, sembra banale anche a me (e tra l'altro anche bruttino, ma Ruffini non mi aiuta mi pare), ma essendo finalmente riuscito a risolvere qualcosa volevo avere la conferma...

(eh lo so, c'ho 'sto bisogno d'esse compatito )

non so se mi posso permettere data la mia inesperienza...ma a me il quesito sembra abbastanza semplice..basta fare il quadrato di $ x + 1/x=3 $ per entrambi i membri e ottieni
$ x^2+2+1/x^2=9 $ da qui $ x^2+1/x^2=7 $....

quindi direi che la soluzione è sette... ditemi se ho agito correttamente...ciao a tutti e scusatemi anche del fatto che non so usare latex..mi sono limitato a mettere i tag avanti e dietro

già che ci siamo: provare che se $ a+\frac{1}{a} $ è razionale, allora
$ a^n+\frac{1}{a^n} $ è razionale per ogni $ n $ intero. (quest esercizio sembrerà banale ai più...)

Ciao, evidemente non sono uno dei più:come si fa? Si svolge (a+1/a)^n ? Grazie

L'espressione che ho visto in questo topic è utile nello svolgere le famose equazioni reciproche di grado maggiore o uguale a 4. In generale, posto:

$ $x+\frac{1}{x} = t$ $

si ha che:

$ $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2 $


Ad esempio, provate a risolvere la seguente:

$ $x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0$ $


Oppure, direttamente dall'ammissione SNS dell'anno scorso:

$ $8(4^x + 4^{-x}) - 54(2^x + 2^{-x}) + 101 = 0$ $

Con le opportune sostituzioni, ovviamente...

Mandragola ha scritto:Ciao, evidemente non sono uno dei più:come si fa? Si svolge (a+1/a)^n ? Grazie

Si può procedere per induzione.
la tesi è vera per 1 e 2, inoltre se la tesi è vera per n ed n-1 allora possiamo scrivere:
$ \[ \left( {a + \frac{1} {a}} \right)\left( {a^n + \frac{1} {{a^n }}} \right) = a^{n + 1} + \frac{1} {{a^{n - 1} }} + a^{n - 1} + \frac{1} {{a^{n + 1} }} \] $
e quest'ultima espressione è razionale (prodotto di 2 razionali a primo membro). Ora, se a tale espressione sottraiamo
$ a^{n-1}+\frac{1}{a^n-1} $ , che è razionale per ipotesi, otteniamo un altro numero che deve essere razionale e la tesi è dimostrata per n+1.


ciao