OliForum Matematico

trovare il minimo n reale per cui f(x) non diventa mai negativa
<BR> f(x)=(n^x)-(x^n)
<BR>congetturo sia e numero neperiano cmq

Congetturi bene.
<BR>n^x-x^n >= 0
<BR>n^x >= x^n
<BR>xlnn >= nlnx
<BR>lnn/n >= lnx/x (immagino che n,x > 0 visto che si tratta di funzioni esponenziali)
<BR>In particolare se poniamo f(x)=lnx/x dovrà essere lnn/n >= max f(x) (f(x) ha un max perché tende a -inf verso 0, a 0 verso + inf ma è positiva per x > 1). Ma lnn/n=f(n) sicché si può ottenere al massimo che sia lnn/n=max f(x).
<BR>f\'(x)=(1-lnx)/x^2 che si annulla per lnx=1 ovvero x=e. Dunque e è effetivamente max f(x), ovvero n.
<BR>
<BR>P.S.: cosa ha a che fare e con Nepero? Perché un sacco di gente lo chiama numero di Nepero quando tutto il mondo lo chiama \"numero e di Eulero\" (d\'altronde se fosse di Nepero e non di Eulero si chiamerebbe n: un bel casino!)?[addsig]

wow, è la terza volta che uso questa curiosità in pochi giorni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>il minimo di g(x)=x^x si ha per x=1/e quindi g(x)=(1/e)^(1/e)
<BR>
<BR>allora
<BR>
<BR>(1/e)^(1/e)<=(1/x)^(1/x) uguale solo per x=e
<BR>
<BR>elevando ad ex
<BR>
<BR>(1/e)^x<=(1/x)^e
<BR>e^x>=x^e
<BR>
<BR>quindi
<BR>
<BR>e^x-x^e>=0 per ogni x, si annulla solo per x=0
<BR>
<BR>non sono accettabili altri valori di n in f(x)=n^x-x^n perché alla x si potrebbe sempre attribuire valore e, per cui diventa negativa la funzione
<BR>
<BR>sto troppo carico per domani <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 19-11-2002 21:56 ]

Neper era un barone o qlcs del genere che studio i logaritmi per primo
<BR>cmq fu Eulero a scoprire le interessanti prop di e tipo (e^pi*i + 1 = 0)