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A me pare che si possa fare....

Sia $ \{x_n\} $ una successione di punti in uno spazio metrico $ X $.
Sia $ g:X\times\bar{R^+}\rightarrow R^+ $ una funzione continua sulla
seconda variabile $ t $ (dove $ \bar{R^+} $ denota la compattificazione dei
reali nonnegativi). Sia $ \{t_k\} $ una successione crescente di
$ \bar{R^+} $. Sia fissato comunque $ k $, supponiamo che per ogni
$ \varepsilon>0 $ esiste $ N(k,\varepsilon $) tale che
$ g(x_n,t_k)\leq\varepsilon $ per ogni $ n>N(k,\varepsilon) $. Suppongo
inoltre che fissato $ \varepsilon $, la
successione $ N_k=N(k,\varepsilon) $ sia divergente.
Domanda: sfruttando la continuità della $ g $ sulla seconda variabile,
detto $ t_{\infty}=lim_{k\rightarrow\infty t_k $, è possibile
affermare che $ g(x_n,t_{\infty})\geq\varepsilon $ per infiniti indici
$ n $?

Uhm ... da come l'hai scritta, g è a valori in uno spazio metrico ... che senso ha chiedere $ g(x,t)\geq \epsilon $ ? forse g è a valori nei reali?

Così com'è mi pare che non funzioni. (Neanche su $ \mathbb R $).

Il problema è che l'ipotesi che $ N_k $ sia divergente non dice assolutamente niente. Infatti supponi che $ N_k $ non sia divergente: è certemente possibile costruire una successione $ N'_k\geq N_k $ divergente, per la quale è ancora vera la proprietà che $ n\geq N'_k\Rightarrow g(x_n,t_k)\leq\varepsilon $. Quindi esiste sempre una successione divergente con quella proprietà.

In pratica se prendi $ X=\mathbb R $, $ x_n=1/n $, $ g(x,t)=x $ allora la tesi è falsa, e in effetti la successione $ N_k $ naturale sarebbe $ N(k,\varepsilon)=1/\varepsilon $ che non diverge. Tuttavia è possibile scegliere $ N(k,\varepsilon)=k/\varepsilon $ e in questo modo si hanno ipotesi vere e tesi falsa.

Spero di essere stato chiaro e di non avere commesso leggerezze.

Sì ok, ma quello si aggiusta : prendi N(k,e) il minimo N tale che ... e dovresti risolvere i problemi di questo genere ... almeno, penso che ubermensch la intendesse così.

No, non si aggiusta neanche così (per chi mi hai preso? ), anche se il controesempio è lungo da scrivere e non ne ho voglia. (Sostanzialmente fai saltare ogni tanto qualche valore sopra $ \varepsilon $ in modo che il minimo $ N_k $ diverga).

Comunque ammetto che non ho controllato bene i dettagli, quindi potrei anche essere smentito.

1) avete ragione ho sbagliato a scrivere: g è a valori reali

2) non l'ho esplicitato (avete ancora ragione!), ma intendevo $ N(k,\varepsilon) $ minimo

3) @teppic:
non ho capito neanche intuitivamente la tua idea "fai saltare ogni tanto qualche valore sopra $ \varepsilon $...."
magari senza mettere la dim, mi potresti dare qualche dettaglio in più?

4) Per il resto, mi pare talmente intuitivo che funzioni che finchè "non vedo non credo".

Scusate ma i seguenti passaggi sono sbagliati?

la tesi equivale a $ min\{N:g(x_n,t_{\infty})\leq\varepsilon , \forall n\geq N\}=\infty $

Abbiamo

$ min\{N:g(x_n,t_{\infty})\leq\varepsilon , \forall n\geq N\} $=$ min\{N:lim_{k\rightarrow\infty}g(x_n,t_k)\leq\varepsilon , \forall n\geq N\} $=$ min\{sup_{k\in N}\{N_k\}\}=\infty $

Credo che il problema sia nella penultima uguaglianza: sei capace di dimostrarla?

Provo a costruire il controesempio al tuo enunciato originale...

Fissiamo $ X=\mathbb R $, $ t_k=k $, $ x_n=1/n $.

Poi definiamo $ g $ sulle coppie del tipo $ (1/n,k) $ così:

$ g(1/n,k)=\left\{\begin{array}{ll} 1/n & n\neq k \\ 1 & n=k \end{array}\right. $

ed estendiamo tale definizione su tutto lo spazio di definizione con continuità nella seconda variabile (non è impossibile, perché per n fissato, la funzione è costante da un certo punto in poi).

Ora, affinché $ g(1/n,k)\leq\varepsilon $ deve essere $ n>k $ e $ n\geq\varepsilon $, quindi:

$ \displaystyle N(k,\varepsilon)=\max\left(k,\frac1\varepsilon\right) $

che chiaramente diverge in k per ogni epsilon.

Tuttavia la tesi è falsa, perché $ g(1/n,\infty)=1/n $.

Aggiungo che affinché l'enunciato sia vero, serve qualcosa di più. Ad esempio basterebbe poter dire che $ g(x,t) $ è non-decrescente in t.

ok... ho capito...
la nondecrescenza non so se ce la posso mettere... però ho altre ipotesi che forse posso usare... vedo un pò che riesco a fare

grazie comunque

Ad esempio la tesi è valida se, posto $ P_k=min\{N_k:|n>N_k:g(x_n,t_k)\geq\varepsilon|<\infty\} $, allora $ P_k $ è divergente.

Nel tuo esempio infatti il problema era che c'era quell' "1" che scombina tutto...


siamo d'accordo su questo?