OliForum Matematico

Direttamente dalla II prova (che quest'anno mi è parsa davvero, ma davvero triviale), ecco due quesiti!

1) Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che $ $1000$ $ chicchi pesino circa $ $38\ \mathrm{g}$ $, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

9) [questo qua è davvero idiota] Della funzione $ $f(x)$ $ si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: $ $f'(x)= f (x)$ $ e $ $f (0)= 1$ $. Puoi determinare $ $f (x)$ $?


P. S.

Quest'anno c'era anche un classico problema... ve lo metto anche se non è molto ricreativo:

5) Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di $ ${(a + b)}^n$ $ è uguale a $ $2^n$ $ per ogni $ $n \in N$ $ .

5) a parte il fatto che basterebbe usare Newton e la somma dei binomiali, è più carino dire che quando a=b=1 il valore dell'espressione è proprio la somma dei coefficienti, in quanto ogni coefficiente moltiplica un uno. Perciò la somma dei coefficienti è proprio $ (1+1)^n=2^n $

9) Sarà forse $ e^x $?

darkcrystal ha scritto:9) Sarà forse $ e^x $?

No, ma cosa vai a pensare

Cmq l'1 sarebbe stato più carino se lo avessero impostato in modo simile al quesito della sessione suppletiva 2001.

OT: Riuscite a credere che una tipa di classe mia si è calcolata$ [tex] $2^64$ $ a mano?!?!?!? (e non nel senso che è veloce a fare i calcoli...)/OT[/tex]

darkcrystal ha scritto:5) a parte il fatto che basterebbe usare Newton e la somma dei binomiali, è più carino dire che quando a=b=1 il valore dell'espressione è proprio la somma dei coefficienti, in quanto ogni coefficiente moltiplica un uno. Perciò la somma dei coefficienti è proprio $ (1+1)^n=2^n $

Anche con il triangolo di tartaglia ci vogliono circa 2 secondi: se la prima riga è 2, e ogni riga si raddoppia, quanto potrà mai valere l'n-sima riga?

Ma, per curiosità, qual è il senso del primo esercizio? In cosa consiste l'abilità del solutore? E soprattutto: erano ammesse le calcolatrici?

Nel primo quesito la cosa carina è individuare l'espressione della somma fino all'n-esimo termine della successione che salta fuori... procedimento penso noto a chiunque in questo forum

Ah, e poi... erano ammesse solo calcolatrici "non programmabili" (anche perché senza calcolatrice è un po' una rogna calcolare le approssimazioni...)

si anche con tartaglia viene carina l'induzione

Per il peso in tonnellate del primo quesito ho lasciato la formula così com'era: $ $ \frac{0,038(2^{64}-1)}{10^6} $ $.
Voi come avete fatto?

anch'io l'ho lasciato così perchè non avevo proprio nessuna voglia di fare i calcoli...
devo comunque dire che il 5) almeno era un po' più divertente della sconcertante facilità dei 2 problemi (io l'ho dimostrato per induzione tra l'altro, perdendoci un sacco di tempo).
Il 9) in sè era banale, ma teoricamente non andrebbe risolto con l'equazione differenziale
$ \displaystyle \frac{dy}{dx}=y $
$ f(0)=1 $
???

cioè, mi sembra che sia l'unica soluzione "rigorosa"...

hydro ha scritto:
Il 9) in sè era banale, ma teoricamente non andrebbe risolto con l'equazione differenziale
$ \displaystyle \frac{dy}{dx}=y $
$ f(0)=1 $
???

cioè, mi sembra che sia l'unica soluzione "rigorosa"...

ma c'è qualcuno che l'ha risolto in altri modi?

non so, però la mia prof (e anche in altre classi) ad esempio ci ha detto che non avremmo dovuto per forza giustificare il fatto che $ e^x $ fosse l'unica funzione che andava bene. Nel senso che sarebbe bastatol rispondere "$ e^x $ soddisfa le condizioni richieste", punto e basta. (Il che è abbastanza inicativo considerando che il mio liceo è uno degli scientifici più rinomati a Milano, ed in più io faccio anche la sezione sperimentale). Non dico che uno studente qualunque di 5 liceo debba sapere risolvere un'equazione differenziale (anche se banale come questa), ma allora al ministero non hanno le idee molto chiare sul tipo di quesiti che devono dare...

hydro ha scritto:ma allora al ministero non hanno le idee molto chiare sul tipo di quesiti che devono dare...

Concordo; noi le equazioni differenziali le abbiamo solamente accennate nel programma di fisica (fase di carica e scarica dei circuiti RC, etc)...
Comunque mi sono limitato anch'io a scrivere: "poiché la funzione non è mai pari a zero, l'unica funzione la cui derivata sia uguale alla funzione di partenza è: $ $ f(x) = e^x $ $". Poi ero partito col dimostrare la formula di derivazione di $ $ e^x $ $ ma mi sono piantato a metà...

Ah, per curiosità: qualcuno di voi ha fatto il quesito 2, sui solidi platonici?

"poiché la funzione non è mai pari a zero, l'unica funzione la cui derivata sia uguale alla funzione di partenza è: $ e^x $"

in realtà sono tutte le funzioni del tipo

$ ke^x $ con $ k $ costante. poi mettendo $ f(0)=1 $ trovi $ k=1 $

metto qui la differenziale giusto per esercizio.
$ y'=y $

$ \frac{y'}{y}=1 $

$ \displaystyle \[ \begin{gathered} \int {\frac{{{\raise0.7ex\hbox{${dy}$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{dy} {dx}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${dx}$}}}} {y}dx = \int {dx} } \hfill \\ \ln |y| = x + c \hfill \\ y = \pm e^{x + c} = \pm e^c e^x = ke^x \hfill \\ ke^0 = 1 \hfill \\ k = 1 \hfill \\ y = e^x \hfill \\ \end{gathered} \] $

Ah, per curiosità: qualcuno di voi ha fatto il quesito 2, sui solidi platonici?

posto una dimostrazione:
in un solido platonico a facce n-agonali, da tutti i vertici devono uscire k facce (e comunque almeno 3). vediamo che valori possono assumere n e k.
La somma degli angoli delle facce uscenti da uno stesso vertice deve essere minore di 360°, e sarà uguale a a*k, dove a è l'angolo di un poligono regolare a n lati.
si ha,
1) per n=3:
a=60°
ka<360 per k=3,4,5 per tali valori abbiamo tetraedro, ottaedro e icosaedro
2) per n=4:
a=90°
ka<360 solo per k=3 e si ottiene il cubo
3) per n=5
a= 108°
ka<360 solo per k=3 (dodecaedro).

ciao

Beh, senza conoscere la teoria delle equazioni differenziali, ma intuendo che l'unica soluzione è l'esponenziale si poteva procedere così :
consideriamo la funzione $ g(x)=e^{-x}f(x) $ dove f è una funzione che soddisfa alle ipotesi del teorema; allora $ g'(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=e^{-x}(-f(x)+f(x))=0 $.
Quindi g'(x) è identicamente nulla (nell'ipotesi che f sia continua e derivabile con continuità su tutti i reali), quindi $ g(x)\equiv k $ con k reale e da ciò $ f(x)=ke^{x} $.
Poi k si determina con la condizione in 0.

Beh oltre al quesito su Finetti che era simpatico, questo esame è stato una noia non ho visto l'ora di consegnare!
Ah, per quelli del PNI, come avete risolto l'area al secondo punto? io ho ruotato gli assi e un banale integrale! Mi piacerebbero però altre soluzioni(ad esempio ho pensato di usare il teorema di Archimede e sottrare due triangoli mistilinei).

evans ha scritto:Beh oltre al quesito su Finetti che era simpatico, questo esame è stato una noia non ho visto l'ora di consegnare!
Ah, per quelli del PNI, come avete risolto l'area al secondo punto? io ho ruotato gli assi e un banale integrale! Mi piacerebbero però altre soluzioni(ad esempio ho pensato di usare il teorema di Archimede e sottrare due triangoli mistilinei).

Sì, l'area del II punto era facile, le due funzioni si intersecavano proprio in $ $y=-1$ $, poi facendo la rotazione (equivalente peraltro ad una simmetria assiale di bisettrice di II / IV quadrante) ti ritrovavi le due funzioni inverse cambiate di segno; il resto era un integrale immediato .