OliForum Matematico

c'è un problema sul mio libro di fisica che mi ha creato alcune perplessità:

si tratta di determinare il punto in cui si deve colpire la palla con la stecca da biliardo affinchè questa parta con un rotolamento puro.

il libro dice:

se la palla viene colpita in modo tale che la retta d'azione della forza passi per il centro di massa, la palla comincia a muoversi senza ruotare
se la palla viene colpita in modo tale che la retta d'azione della forza passi sotto il centro di massa, la palla comincierà a muoversi ruotando all'indietro.
in che punto si deve colpire la palla perchè rotoli senza strisciare fin dall'inizio?

a questo punto il libro dice che la seconda legge di newton dà

F=m*a=m*r*alfa, dove è stata introdotta la condizione per il rotolamento a=r*alfa

la seconda legge di newton per il moto rotatorio dà Momento=F*r*sin(teta)=F*x=I*alfa

poi mette a sistema le due equazioni e trova che x=2/5R usando I=2/5mR^2



Quello che non sono riuscito a capire è: l'accelerazione del centro di massa non può essere uguale a F/m, perchè altrimenti in questo caso non ci sarebbe rotolamento poichè una certa parte della forza serve per accelerare angolarmente il sistema, dunque è lecito usare questa condizione per risolvere il problema?

Per esempio se la F=1 newton, la massa della palla=1kg e R=1m, l'accelerazione sarebbe pari a 1 m/s^2, mentre l'accelerazione angolare sarebbe 1 rad/s^2.
Allora l'energia cinetica di rotazione dopo un tempo di 1s sarebbe 1/5j, mentre quella traslazionale del centro di massa sarebbe 1/2j. Lo spazio percorso dalla palla in questo secondo sarebbe 1/2 metro, per un lavoro totale svolto dalla forza di 1/2j. dunque l'energia cinetica acquistata sarebbe maggiore del lavoro svolto sulla palla!

chi mi svela il mistero?

Proviamo così:

supponiamo di voler dare un colpo alla palla in modo che abbia (un istante dopo l'urto) un modo d'inerzia compatibile con il rotolamento (questo significa che non vogliamo sfruttare la forza di attrito iniziale del tavolo).
Ci chiediamo se sia possibile farlo con un colpo parallelo al tavolo stesso assestato nel punto giusto.
Per ottenere tale risultato è necessario produrre un moto iniziale di rototraslazione della palla con un definito rapporto tra la velocità del centro di massa e quella di rotazione attorno allo stesso in modo che il punto di contatto con il tavolo sia fermo. Tale relazione è in modulo
$ V=\omega R $
il tuo libro a questo punto usa le due equazioni della dinamica per ottenere l'accelerazione del CM e l'accelerazione angolare attorno ad esso. Il rapporto tra le due accelerazioni è lo stesso del rapporto tra le rispettive velocità appena trovato da cui ricavi il punto dove dare il colpo.

Non mi sembra corretto il tuo modo di interpretare l'effetto della spinta: per il teorema del moto del CM l'acc. del CM non dipende dal punto di applicazione della spinta ma solo dalla sua risultante. Inoltre, un conto è l'accelerazione e la dinamica e un altro è lo spostamento e l'energia.

ciao

ok, ma non mi hai chiarito il dubbio: posso usare, per ricavare la distanza, una equazione che poi non posso riutilizzare per ricavare l'accelerazione del centro di massa perchè dà un risultato sbagliato?

tutto questo mi pone in mente altri problemi: se per esempio si ha una sfera nel vuoto e si applica una forza tangenzialmente alla sua superficie, come si muove la sfera?

dato che il rapporto tra energia cinetica rotazionale e traslazionale è costante, e vale [1/2(2/5)mr^2*v^2/r^2]/(1/2mv^2)=2/5, posso dire che il lavoro fatto dalla componente della forza che mette in rotazione il corpo è due quinti della forza che accelera il centro di massa, cioè il lavoro (proporzionale alla forza, e quindi la forza, dato che lo spostamento è uguale nella rotazione pura) che accelera il centro di massa è 5/7 di quella che accelera il corpo mettendolo in rotazione.

così posso dire che la forza che accelera il centro di massa non è la forza totale che si esercita sul corpo...c'è qualche baco nel mio ragionamento?

Che la accelerazione sia F/m mi sembra fuori discussione, è il 2° principio della dinamica. Direi che nel vuoto la sfera ruota e trasla allo stesso tempo, dunque (consideri il momento rispetto al centro di massa...).

Forse le cose riguardo all'energia stanno così: immaginiamo che la sfera possa solo ruotare senza traslare. Come potresti fare per applicare F? Magari con una specie di sbarra da far scorrere sulla parte superiore della sfera. Allora dovresti applicare una forza ad un estremo della sbarra e calcolare il lavoro in modo usuale.

E se la sfera potesse ora muoversi? Allora di certo dovresti tirare la sbarra con la stessa F per un tratto più lungo, per "seguire" il movimento della sfera, e dovresti dunque compiere più lavoro. Allora il baco nel tuo ragionamento sarebbe considerare la spostamento di 1/2.

Non so se è giusto, è solo una possibile interpretazione.

Certo ti posso dire che non ho mai visto nessuno usare l'energia in questo tipo di problemi.

Ciao

Sì, torna !!!

Infatti se integri per trovare l'angolo di rotazione totale e poi moltiplichi per R e poi sommi i due spostamenti torna 7/4=1/2+5/4 e il paradosso è risolto.

Ciao,
Bacco

Sinceramente ho qualche problema a seguire i vostri ragionamenti .....

La questione forse va posta in questi temini:
se ho una forza che agisce su un corpo rigido, generalmente provocherà una accelerazione del CM (questo è necessario se la forza non è nulla) e una accelerazione angolare attorno al CM (questa può essere nulla se il momento della forza rispetto al CM è nullo). Nel tempo tali accelerazioni danno luogo a velocità del CM e velocità angolari attorno al CM che producono le relative energie cinetiche (traslazionali e rotazionali).
Il lavoro fatto dalla forza è pari alla variazione complessiva dell'energia cinetica (con entrambe le voci) e non si possono separare i contributi.

Se vi è una sola forza agente, in qualsiasi punto tu la metta e in qualsiasi direzione, essa produrrà acc. del CM. Se vuoi la sola rotazione angolare devi applicare una coppia pura ovvero un sistema di forze che ha risultante nulla e momento risultante non nullo. In quest'ultimo caso il lavoro complessivo delle singole forze che formano la coppia produce l'aumento di energia cinetica che è solo rotazionale.

E' più chiaro ora?

ciao

Sì, ma il problema non era quello. Il fatto è che veniva un apparente paradosso, che spero di aver risolto nel mio precedente post. In pratica, riassumendo: il punto d'applicazione della forza si sposta di più di quando precedentemente detto da memedesimo, in quanto il suo spostamento totale è $ s + \phi r $.

Ciao

forse un problema del genere può aiutare a capire la situazione (anche se apparentemente non c'entra nulla, e magari non c'entra davvero):

supponiamo di avere un'asta rigida (densità uniforme) lunga 1m e di massa 1kg a riposo nello spazio vuoto, disposta verticalmente. Una pallina (m=1kg) che viaggia orizzontalmente alla velocità di 1m/s urta l'asta a un suo estremo.

descrivere il successivo moto dell'asta nei due casi:

a) la pallina è fatta di stucco e rimane appiccicata all'estremo dell'asta
b) la pallina rimbalza elasticamente

come li risolvereste?
per il primo caso con la conservazione della quantità di moto e del momento angolare io trovo che la velocità del centro di massa è 1/2m/s, mentre la velocità angolare attorno al centro di massa è 1,85 rad/s, però non mi tornano i conti con l'energia...

Per forza non torna l'energia! Nel primo caso l'urto non è affatto elastico, e parte dell'energia va perduta.

no non in quel senso, nel senso che l'energia dopo l'urto è maggiore di quella prima dell'urto!

cmq ho sbagliato sicuramente a livello di concetti, perchè il centro di massa quando si attacca lo stucco cambia...mumble mumble

cari amici, vi rispondo "paradossalmente" non come chimico ( dovrei conoscere abbastanza bene leggi del moto, momenti angolari, etc etc) ma piuttosto come "esperto" di biliardo. C.Coriolis, in qualche pagina della sua opera "Theorie mathematique du jeu du bilard", calcola l'altezza teorica alla quale bisognerebbe colpire la biglia con la punta della stecca per evitare di forzarne la rotazione "naturale", ovvero quella provocata dall'attrito con il panno (n.b.nel modello matematico proposto dall'esercizio, nulla cambia il valore calcolato, perchè al momento iniziale dell'impulso dato dall'impatto della stecca l'attrito del panno è ininfluente): ebbene tale altezza è 5/7 dell'altezza totale della biglia.
Poichè eravate intuitivamente sulla strada giusta, spero che questo dato vi possa portare più speditamente alla risposta definitiva (5/7h).

Inoltre vi voglio esortare a sviluppare il modello "biliardo", sia dal punto di vista fisico che matematico, perchè quello del biliardo è sicuramente un mondo ricchissimo di spunti. Non a caso volevo scrivere un trattatello divulgativo di fisica del biliardo che avrei intitolato "Il mondo in 3D su un piano. A risentirci presto!
Lou