OliForum Matematico

Trovare tutti i polinomi di grado $ n $ tali che:
$ p(x^5)= x^{2n}\cdot p(x^3)+x \cdot p(x^2)+p(x) $

Buon lavoro!
Maria

Sia $ p(x)= a_0 x^n+ \cdots +a_{n-1}x+a_n $

Sia $ f(g(x);i) $ il coefficiente del termine di grado i di un polinomio $ g(x) $.

Ho che $ f(LHS;1)=0= f(RHS;1)=a_{n-1}+a_n $
Quindi ottengo
$ 1) a_n=-a_{n-1} $

Suppongo $ n \ge 2 $

Sia $ deg(p(x)-a_0 x^n)=k $
Palesemente $ n>k $
Inoltre se $ k>0 $
$ 5k= deg(LHS-a_0x^{5n}) $ $ =deg(RHS-a_0x^{5n}) $ $ =deg(x^{2n}p(x^3)-a_0x^{5n})=2n+3k $
ovvero $ k=n $ che è assurdo.

Se $ k=0 $ ottengo:
$ p(x)=a_0x^n+a_n $
ma per la 1(se $ n \ge 2 $ ) $ p(x) = a_0 x^n $

sostituisco nell’equazione data ottenendo:
$ a_0x^{5n}=a_0x^{5n}+a_0x^{2n+1}+a_0x^n $
ovvero se $ a_0 \not=0 $ :
$ -x^n=x^{2n+1} $ che è falsa per $ n \ge 2 $ poichè per questi valori di n:
$ deg(-x^n)<deg(x^{2n+1}) $

Se n=0 ottengo $ 0=deg(LHS)<deg(RHS)=1 $ che è assurdo.
non considero p(x)=0 poichè non ne è definito il grado.

Se n=1 ottengo $ p(x)=ax-a $ (per la 1) con $ a\not = 0 $
e sostituendo nell'equazione data $ ax^3-ax^2=0 $ chè è falsa poichè
$ deg(ax^3)>deg(ax^2) $

Quindi non dovrei avere soluzioni.

Un abbozzo di soluzione, ditemi solo se può essere una buona partenza.

Sia $ $\omega$ $ una radice QUINTA complessa dell'unità, t.c. $ $\omega^5 =1$ $. Sostituendola nell'espressione, abbiamo:

$ $p(\omega^5)= \omega^{2n}\cdot p(\omega^3)+\omega \cdot p(\omega^2)+p(\omega)$ $

Da cui, direttamente:

$ $p(1)= \omega^{2n}\cdot p(\omega^3)+\omega \cdot p(\omega^2)+p(\omega)$ $

Sappiamo inoltre che $ $p(1) = \sum_{i=0}^n a_i$ $, cioè la somma dei coefficienti $ $a_i$ $ del nostro polinomio di grado $ $n$ $. Se riusciamo a dimostrare che a destra c'è una quantità diversa da tale somma, per polinomi di qualsiasi grado, abbiamo dimostrato l'assurdo e abbiamo finito.

Notiamo inoltre che, sostituendo $ $x=1$ $, otteniamo:

$ $p(1)= 1^{2n}\cdot p(1)+1 \cdot p(1)+p(1) \Rightarrow p(1)=3p(1)$ $

che implica direttamente $ $p(1)=0$ $

Dunque anche $ $p(1) = \sum_{i=0}^n a_i = 0$ $. Inoltre, se sostituiamo $ $x=-1$ $, nell'espressione, perveniamo a:

$ $p(-1)= {(-1)}^{2n}\cdot p(-1)-1 \cdot p(1)+p(-1)$ $

Sapevamo che $ $p(1)=0$ $, da cui:

$ $p(-1)= 2p(-1) \Rightarrow p(-1)=0$ $

Da ciò abbiamo che:

$ $p(1)=p(-1)= 0 = \omega^{2n}\cdot p(\omega^3)+\omega \cdot p(\omega^2)+p(\omega)$ $

...finora va bene, oppure no?