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Due condensatori di capacità C1 e C2 con C2 > C1 sono inizialmente carichi con la stessa carica Q1 = Q2 = Q. Sono quindi connessi collegando tra loro con due fili conduttori le armature aventi la stessa polarità. Si determini lo stato finale dei condensatori e si discuta il relativo bilancio energetico.
Fonte "Test d'Ammissione Normale 2004-5"

Inizialmente i due Condensatori hanno potenziale:
$ V_1 = \frac{Q}{C_1} $ e $ V_2 = \frac{Q}{C_2} $.

Connettere collegando tra loro con due fili conduttori le armature aventi la stessa polarità significa mettere i due condensatori in PARALLELO:

$ C_f = C_1 + C_2 $.

Per il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA:

$ Q_f = 2Q $,

da cui si ricava il nuovo potenziale elettrostatico del sistema dei due condensatori:

$ V_f = \frac{2Q}{C_f} = \frac{2Q}{C_1 + C_2} $.

Bilancio Energetico:

Energia Elettrostatica Iniziale:

$ \displaystyle E_i = \frac{1}{2}QV_1 + \frac{1}{2}QV_2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1} + \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_2} = \frac{1}{2}Q^2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} $. (1)

Energia Elettrostatica Finale:

$ \displaystyle E_f = \frac{1}{2}\frac{4Q^2}{C_1 + C_2} $. (2)

Bilancio energetico, (2) - (1):

$ \displaystyle \Delta E = \frac{1}{2}\frac{4Q^2}{C_1 + C_2} - \frac{1}{2}Q^2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} $...

Errori a parte, il resto dei conti mi annoiano...

Non lo so ma il fatto che tu consideri solo la carica Q iniziale mi lascia molto perplesso. La caratteristica dei condensatori in serie è che rimanga invariata la ddp
quindi $ Q1=V*C1 $ $ Q2=V*C2 $

Con $ V $ ddp di equilibrio

si, ma devi contare che qui non c'è una batteria che mantiene la dpp

Si può anche mostrare che $ E_f<E_i $, ossia che $ \frac{E_f}{E_i}<1 $:
$ \frac{E_f}{E_i}=\frac{4C_1C_2}{(C_1+C_2)^2} $
Ma $ 4C_1C_2<(C_1+C_2)^2 $ in quanto $ -(C_1-C_2)^2<0 $ se $ C_1 \not= C_2 $
Ciò si può fisicamente interpretare con il fatto che un po' di energia viene dissipata dalla resistenza del cavo di colegamento.

memedesimo ha scritto:si, ma devi contare che qui non c'è una batteria che mantiene la dpp

Ok ma in situazione di equilibrio non otteniamo due cariche differenti?

evans ha scritto:Non lo so ma il fatto che tu consideri solo la carica Q iniziale mi lascia molto perplesso. La caratteristica dei condensatori in serie è che rimanga invariata la ddp
quindi $ Q1=V*C1 $ $ Q2=V*C2 $

Con $ V $ ddp di equilibrio

Scusami, perchè in SERIE?

tuvok ha scritto:Si può anche mostrare che $ E_f<E_i $, ossia che $ \frac{E_f}{E_i}<1 $:
$ \frac{E_f}{E_i}=\frac{4C_1C_2}{(C_1+C_2)^2} $
Ma $ 4C_1C_2<(C_1+C_2)^2 $ in quanto $ -(C_1-C_2)^2<0 $ se $ C_1 \not= C_2 $
Ciò si può fisicamente interpretare con il fatto che un po' di energia viene dissipata dalla resistenza del cavo di colegamento.

Si, anche a me viene un bilancio energetico negativo che significa che si spende energia per effettuare il collegamento

ops scusatemi volevo dire in parallelo comunque la questione rimane la stessa.

la soluzione qui proposta è corretta, ma nella richiesta "discutere il bilancio energetico" c'era probabilmente sottintesa la richiesta di dire CHE FINE FACCIA l'energia che manca.
L'interpretazione "si è dissipata sulla resistenza del filo" non regge, perché siamo in una situazione ideale in cui le resistenze sono volutamente trascurate.
Per semplificare la questione, possiamo considerare due condensatori IDENTICI, di cui uno è all'inizio carico con carica Q ed uno è scarico.
Dopo la chiusura dell'interruttore che forma il parallelo, nel condensatore equivalente di capacità 2C risulta immagazzinata un'energia che è esattamente la metà di quella che si trovava nel condensatore carico; come si può verificare con pochi facili passaggi.
Questo senza che ci siano resistenze da nessuna parte. Dunque: dove va a finire l'altra metà?

che l'energia diminuisca questo e' abbastanza ovvio, dato che un sistema tende ad andare spontaneamente verso stati a energia minore. Non essendosi forze em esterne, le cariche si ridispongono in un livello energetico inferiore.
A occhio direi che, dato che si instaura una corrente ($ ~e^- $ dall'armatura negativa di $ ~C_1 $ a quella di $ ~C_2 $ e dall'armatura positiva di $ ~C_2 $ a quella di $ ~C_1 $), l'energia mancante e' andata nel campo EM prodotto.