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Ragazzi, ho un disperato bisogno di aiuto!! Qualcuno potrebbe svolgermi questa funzione: la funzione sarebbe e elavato a numeratore x alla seconda, denominatore x alla seconda meno 4
2
x
------
2
x - 4
e

Avrei bisogno del dominio, limiti, derivata prima e derivata seconda. Per favore aiutatemi!! grazie

$ e^{\frac{{x^2 }} {{x^2 - 4}}} $

dominio è l'insieme dei reali diversi da 2 e -2 (l'unico rischio è che si annulli il denominatore dell'esponente)

i limiti si fanno all'estremo del dominio; siccome la funzione è pari ci risparmiamo un po' di lavoro
$ \[\displaystyle\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = e \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2^ + } f(x) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } f(x) = + \infty \hfill \\ \end{gathered} \] $
f' ed f'' le fai con regole di composizione:

$ \[ f'(x) = f(x)\frac{{ - 8x}} {{\left( {x^2 - 4} \right)^2 }} \] $

$ \[ f''(x) = 8f(x)\frac{{\left( {3x^4 - 16} \right)}} {{\left( {x^2 - 4} \right)^4 }} \] $

questo è il grafico (solo per x>0, l'altra metà è la simmetrica rispetto all'asse y)


ciao

grazie mille sei stato molto gentile, non e che potresti farmi vedere i passaggi della derivata seconda?

a mi sono dimenticato di chiederti, per quanto riguarda le intersezioni?poi studiando la derivata prima devo porre -8x >= di 0 per trovare se c'è un minimo o un massimo giusto? scusami ma siccome ho un esame sto cercando di correggere al meglio l'esercizio

allora intersezioni con asse x ci sarebbero se la funzione si annullasse. un'esponenziale però non si annulla mai. intersezioni con asse y si vedono dando a x il valore 0. Se x=0, f(x)=1 allora l'intersezione con asse y è (0;1).
la derivata seconda è la derivata prima della derivata prima.
con regola del prodotto ottieni
$ \displaystyle\ \[ f''(x) = f'(x)\frac{{ - 8x}} {{\left( {x^2 - 4} \right)^2 }} + f(x)\left[ {\frac{d} {{dx}}\frac{{ - 8x}} {{\left( {x^2 - 4} \right)^2 }}} \right] \] $

poi il termine tra parentesi quadre è:
$ \[ 8\frac{{3x^2 + 4}} {{\left( {x^2 - 4}\right)^3 }} \] $ ed arrivi alla formula che abbiamo trovato.


La derivata prima è >=0 per x>=0, si annulla in 0, $ (0;1) $è un massimo relativo a $ [-2;2] $
minimi assoluti non ne hai perchè la funzione tende a zero senza raggiungerlo in 2 e -2.
(se f'>0 la f cresce, se f'<0 la f decresce)

la derivata seconda è negativa in
$ \[\displaystyle I = \left] { - \frac{2} {{\sqrt[4]{3}}};\frac{2} {{\sqrt[4]{3}}}} \right[ \] $
positiva in Dominio - I;
si annulla negli estremi di I.

grazie mille, sei stato molto gentile