OliForum Matematico

Premesso che non ho mai frequentato granché la sezione di fisica di questo forum (e che ultimamente manco un bel po' anche da tutte le altre, sigh ) ecco l'ennesimo problema di ammissione sns. E' dell'84-85; voi come lo interpretate e come lo risolvereste?

Un fluido uniforme di densità $ \rho $ occupa una sfera di raggio $ R $ che varia con il tempo. Le "molecole" del fluido si attraggono con forza gravitazionale, e si allontanano dal centro con velocità $ \nu=Hr $, dove $ r $ è la distanza dal centro e $ H $ dipende solo dal tempo.

i) Si dimostri che il rapporto $ \nu/\nu_0 $ tra la velocità $ \nu $ e la velocità di fuga $ \nu_0 $ (cioè la minima velocità che una "molecola" a distanza $ r $ deve avere per poter sfuggire all'attrazione gravitazionale) è indipendente da $ r $.

ii) Si determini la densità $ \rho_0 $ per cui $ \nu=\nu_0. $

iii) Si determini l'energia totale $ E_0 $ di una molecola quando $ \nu=\nu_0 $. Come si comporta il fluido quando l'energia è maggiore o minore di $ E_0 $?

iv) Indicato con $ R(t) $ il raggio della sfera al tempo $ t $, e supposto $ \nu=\nu_0 $, si esprima la velocità $ \nu(t) $ al tempo $ t $ in funzione del raggio $ R(t) $ e della massa totale $ M $ del fluido.

v) Si dimostri che il tempo $ t_2-t_1 $ occorrente perché il raggio passi dal valore $ R(t_1) $ al valore $ R(t_2) $ è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa.

Questo problema rappresenta una schematizzazione del processo di espansione dell'universo.

Felice di trovarti da queste parti, phi!

Il problema mi sembra molto facile e si fa tutto con la conservazione dell'energia e il teorema dei gusci, poi alla fine una o.d.e. a variabili separabili. Ciao!

Bacco ha scritto: si fa tutto con ... il teorema dei gusci

mi puoi dire a quale 'teorema' ti riferisci?

grazie

la forza di attrazione gravitazionale per un corpo che si trova all'interno di un guscio sferico con densità uniforme è nulla.. quindi una molecola posta a distanza $ r $ dal centro viene attratta solo dalle molecole che si trovano a distanza $ d\leq r $... In genere per una distribuzione sferica di massa con densità uniforme si può considerare l'attrazione come se tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera(è un teorema non un'approssimazione)..quindi la forza che agisce su una molecola di massa $ m $ è:

$ \displaystyle F = G \frac{m \rho \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G m \rho r $

ah OK! Non credevo che questa proprietà avesse il blasone di teorema.
La tua formula si riferisce a una 'molecola' che si trova entro la sfera omogenera ... mi sembra che manchi un r.


Dopo la correzione mi sembra OK

grazie e ciao

Non per intromettermi, ma è il teorema del flusso di Gauss...

EvaristeG ha scritto:Non per intromettermi, ma è il teorema del flusso di Gauss...

..che se non sbaglio è valido per ogni forza che dipende dall'inverso del quadrato della distanza.. no??