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Si dimostri che se $ ab=2^n-1 $ e $ 2^k $ è la massima potenza di $ 2 $ tale che $ 2^k\mid 2^n-2+a-b $, allora $ k $ è pari.

Buon lavoro!

Allora, dal testo si ha:

$ 2^n=ab+1 $
$ 2^kd=2^n-2+a-b $ con $ d $ dispari

Inoltre se $ ab $ è dispari allora lo sono sia $ a $ che $ b $.

Sostituendo:

$ 2^kd=ab-1+a-b=(a-1)(b+1) $

Il membro di destra è il prodotto di due numeri pari e quindi $ d $ è pari.

$ 8 $ e $ 16 $ sono entrambi pari eppure il loro prodotto , cioè $ 2^7 $ è diviso esattamente da $ k=7 $ che non è pari

$ $ ab=2^n-1 $ (i)
$ $ 2^k|| (2^n-2+a-b) $
$ $ 2^kd=2^n-2+a-b $
$ $ 2^kd=ab-1+a-b=(a-1)(b+1)=(a-1)\left( \frac{2^n-1}{a}+1\right) $

poichè $ a $ è dispari conta solo la massima potenza che divide
$ (a-1)(2^n+a-1) $

ma certamente preso $ h $ tale che $ 2^h|| (a-1) $ allora $ h<n $ sennò avremmo una contraddizione nella (i) cioè membro di sinistra maggiore di membro di destra quindi avremo
$ 2^k*d=2^hd_1(2^hd_1+2^n)=2^hd_1*2^h(2^{n-h}+d_1) $
$ 2^k*d=2^{2h}d_1(2^{n-h}+d_1) $
per quanto detto prima $ 2^{n-h} $ è pari e quindi la massima potenza che divide $ 2^n-2+a-b $ è $ 2h $ dove $ h $ è tale che $ 2^h || (a-1) $

Se è poco chiaro, e credo che lo sia, chiedete

Al solito Boll per capirti ci vuole l'interprete... comunque l'idea è sostanzialmente quella... tuttavia ho trovato una strada alternativa che mi pare possa funzionare alla grande e non dovrebbe creare problemi... dimmi un po' che ne pensi....

Dunque

Affinché $ ab=2^n-1=2^0+2^1+...+2^{n-1} $ è necessario che $ a $ e$ b $ rispettino alcune caratteristiche ben precise: possiamo infatti avere soltanto

Caso 1:
$ a=2^0+...+2^m,\qquad b=2^0+2^{m+1}+...+2^{k(m+1)} $
Caso 2:
$ b=2^0+...+2^m,\qquad a=2^0+2^{m+1}+...+2^{k(m+1)} $

(il perché si può facilmente intuire facendo la moltiplicazione in base 2, ma il concetto è quello di evitare riporti e quindi lasciare un "buco" per un certo esponente Dite pure se nn vi è chiaro del tutto )

Ma allora per il caso 1 se $ 2^k\mid (a-1)(b+1) $ allora $ k=2 $ infatti sia $ a $ che $ b $ sono divisibili solo per $ 2 $ (ovviamente il caso in cui $ a-1=0 $ non interessa per ovvi motivi)

Per quanto riguarda il caso 2 è facile verificare che il massimo $ k $ per cui $ 2^k\mid (a-1)(b+1) $ è proprio $ k=2(m+1) $ ed anche in questo caso è pari....

Saluti a tutti... per chiarimenti sono qui.... tengo a sottolineare che comunque le idee di fondo sono quelle già espresse da Boll... ciao!!!!

Ti sei dimenticato il II caso, che comunque ti torna come a me. Però non capisco come dimostri quelle scritture, sarà l'ora tarda...

EDIT per Boll.... avevi ragione ... a dir la verità non convinceva neppure a me molto già ieri sera però mi sembrava un'idea carina che mi era sorta risolvendo inizialmente l'esercizio come già tu hai proposto... il problema è che non ci sono solamente quelle due uniche possibilità anche se per capirlo bisogna cercare in numeri leggermente più grandi.... va beh come non detto.. l'ora tarda gioca brutti scherzi....

P.S. per chiunque voglia cercare come devono essere costruiti $ a,b $ tali che $ ab=2^n-1 $ fate pure.... potreste trovare qualcosa di carino... saluti a tutti