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Massiminimizziamo a gradi sfasati
Inviato: 07 lug 2006, 17:51
da Boll
Siano $ a,b,c $ numeri reali non negativi tali che $ a+b+c=3 $.
Determinare massimo e minimo di $ ab+bc+ca-3abc $
Inviato: 08 lug 2006, 14:01
da pic88
sia T l'espressione da massiminimizzare:
per il minimo basta mc laurin:
ab+bc+ca>=3(abc)^2/3>=3abc perchè abc<=1;
molt.Lagrange: (b+c-3bc;a+c-3ac;a+b-3ab)=k(1;1;1) ottieni a=b=c e T=0, che è il minimo ,
il massimo non si trova con lagrange, quindi si presume sia sul controno del dominio, ovvero quando una delle variabili è nulla. si ha ad esempio a=0, T=bc, T<=9/4 per AM-GM, quindi max=9/4 per (0,3/2,3/2) o permutazioni di questa terna.
Inviato: 08 lug 2006, 14:16
da Boll
Non prendiamo il vizio di imbiancare tutto però... Sennò viene un macello, questo esercizio credo sia abbastanza avanzato da poter essere risolto dopo un giorno senza far perdere gli occhi a tutti. Comunque, per pic88, mi risulta quasi tutto ok, a parte una cosa, quando usi i moltiplicatori secondo me perdi soluzioni, il minimassimo potrebbe essere in $ $ \left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{7}{3}\right) $ e cicliche
Inviato: 08 lug 2006, 14:23
da pic88
l'ho omesso perchè ho semplicemente sostituito tali valori (che ritenevo probabili), ottenendo T=8/9
Inviato: 08 lug 2006, 18:20
da Simo_the_wolf
MAGIA:
diciamo che $ a $ è il massimo
$ ab+bc+ca-3abc \leq \frac 94 $
infatti moltiplicando per 4 e sostituendo abbiamo:
$ 0 \leq (a+b+c)^2 - 4(ac+ab) + 4(3a-1)bc $$ = (b-a+c)^2 + 4(3a-1)bc $
che è vera perchè il RHS è una quantità positiva + un quadrato.
Inoltre l'uguaglianza c'è quando $ c=0 $ e $ a=b $
Ora vediamo come ci si arriva...
unsmoothing...
Chiamiamo $ f(a,b,c)=ab+bc+ca-3abc $
Diciamo WLOG che $ a\geq b \geq c $ allora diciamo che:
$ f(a, c+b ,0 ) \geq f(a,b,c) $
$ a(b+c) \geq ab+bc+ca - 3abc $
$ (3a-1)bc \geq 0 $
che è vera poichè $ a>1 $.
quindi ci basta osservarla in 2 variabili.
$ x+y=3 $ dobbiamo trovare il massimo di $ xy \leq \frac 14 (x+y)^2 =\frac 94 $ che è dunque il massimo.
Inviato: 09 lug 2006, 00:24
da darkcrystal
Per il minimo basta addirittura AM-GM: se a, b o c sono 0 si vede presto che la quantità è non negativa, altrimenti dividendo tutto per abc si ha
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} - 3 \geq 3 \frac{1}{(abc)^{(1/3)}} -3 $$ = 3 / GM - 3 \geq 3/AM - 3 = 3 - 3 = 0 $, da cui la quantità è sempre non negativa. Si vede anche che per (1,1,1) la nostra quantità è 0 che è perciò il minimo.