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Trovare tutte le soluzioni intere di:

$ $(m^2+n)(m+n^2) = {(m+n)}^3$ $

Notice: esercizio assolutamente rivolto ai "non-esperti", buono per impratichirsi un po'.

Svolgendo e semplificando diventa

$ mn(mn+1-3(m+n))=0 $. Quindi vanno bene tutte le coppie $ (m;0),(0;n) $ oppure quelle tali che $ mn+1-3(m+n)=0 $, ovvero $ (m-3)(n-3)=8 $, da cui, provando i vari casi, $ (m;n)=(4;11),(-5;2),(5;7),(1;-1) $ più tutte le loro permutazioni, essendo l'espressione simmetrica in m e n

uhm aggiungiamo qualcosa:
dire se esistono soluzioni intere per:
$ n^2 + (n +1)^2 + (n+ 2)^2 = m^2 $

Svolgiamo i calcoli, diventa:

$ 3(n+1)^2=m^2-2 $. Quindi il membro a sinistra deve essere $ \equiv 0 \mod 3 $. Ma i residui quadratici $ \mod 3 $ sono solo 0,1. Quindi non vi sono soluzioni