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un facile polinomio
Inviato: 09 lug 2006, 16:44
da pic88
di un polinomio $ p $ si sa che
$ \displaystyle
p(0)=0 $
$ p(c^2+1)=[p(c)]^2+1 $
trovare $ p $.
Inviato: 10 lug 2006, 11:42
da HumanTorch
in primo luogo noto che $ x \mid P(x) $;inoltre $ P(x)=x $ funziona, quindi $ P(x)-x $ ha infinite radici, e pertanto deve essere un polinomio costante e pari a 0, quindi $ P(x)=x+C $, $ P(0)=0 $, quindi $ P(x)=x $
Inviato: 16 lug 2006, 21:50
da gianmaria
Considerando la successione delle $ c_i $ definita da $ c_0=0 $ e $ c_{i+1}=c_i}^2+1 $, per ipotesi si ha $ p(c_0)=c_0 $. Supposto poi $ p(c_i)=c_i $, sostituendo nella formula si ottiene $ p(c_{i+1})=c_{i+1} $: quindi i polinomi p(x) e x assumono gli stessi valori in infiniti punti e perciò coincidono