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Sarei molto lieto se qualcuna delle vostre menti geniali mi risolvesse questo problema:
si considerino due masse uguali $ M_1=M_2=1 Kg $ collegate da una molla di costante elastica $ k=10N/m $ e lunghezza a riposo $ L=10cm $.
Le due masse sono libere di muoversi su un piano orizzontale senza attrito e sono inizialmente ferme ad una distanza di $ 10cm $.
La massa $ M_1 $ è sottoposta ad una forza costante di $ F=10N $ orizzontale nella direzione della massa $ M_2 $.
Calcolare
a) le equazioni del moto del sistema
b) l'evoluzione temporale della distanza relativa dei due corpi $ x_2-x_1 $ (la posizione $ \xi=x_1-x_2+L+F/k $ può essere di aiuto)
c) l'evoluzione temporale della posizione del baricentro del sistema (definito come $ m_1*x_1+m_2*x_2 $)

Innanzitutto ti faccio i miei complimenti perchè questo problema mi piace, è di quel tipo di problemi che ti fa capire come funziona la realtà.

Equazioni del moto:
$ F+(x_2-x_1-L)k=m\ddot{x_1} $
$ -(x_2-x_1-L)k=m\ddot{x_2} $

Ora noi sappiamo che $ (x_2-x_1)''=\ddot{x_2}-\ddot{x_1} $ e allora, posto $ x_2-x_1=y $ si ottiene:

$ \displaystyle \ddot{y}+\frac{2k}{m}y=\frac{2kL-F}{m} $

E' noto che la soluzione di questa eq. differenziale è $ y=Asen(\omega t + \phi)+B $.

$ \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}} $
$ B=L-\frac{F}{2k} $

Per trovare $ A,\phi $ ho usato un ragionamento un po' più complicato.
Consideriamo $ \ddot{y}=-A{\omega}^2sen(\omega t + \phi) $. Nell'istante iniziale, la der. seconda è l'accelerazione istantanea della massa 1 cambiata di segno, perchè la massa 2 è ferma. Analogamente, la der. prima di y(t) è la velocità cambiata di segno della massa 1, e quindi è nulla. Ponendo dunque $ \dot{y}(0)=0 $ e $ \ddot{y}(0)=-F/m $ e sostituendo le costanti date si ottiene:

$ \phi =\pi /2 $
$ A=\frac{F}{2k} $.

Il centro di massa, essendo le masse uguali, si trova sempre a metà tra le due masse e si muove con accelerazione costante:

$ x_{CM}=\frac{F}{4m}t^2 + \frac{L}{2} $.

Dunque si ha:

$ \displaystyle x_1+x_2=\frac{F}{2m}t^2 + L $
$ \displaystyle x_2-x_1=\frac{F}{2k} sen(\sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{\pi}{2}) + L-\frac{F}{2k} $

e dunque il moto di ogni massa è completamente descritto.

$ \displaystyle x_1=\frac{\frac{F}{2m}t^2 - \frac{F}{2k} sen(\sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{\pi}{2}) +\frac{F}{2k}}{2} $

$ \displaystyle x_2=\frac{\frac{F}{2m}t^2 + \frac{F}{2k} sen(\sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{\pi}{2}) -\frac{F}{2k}}{2}+L $


Osservazione fine: $ x_1 $ non dipende da L, ma solo da k, come è anche del tutto plausibile che sia.

Grazie mille Bacco per la spiegazione!