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Una sfera di raggio $ R $ e densità $ \delta $ cade da ferma nell'aria. La densità dell'aria è $ \rho $. Il campo gravitazionale vale $ g $.

Determinare $ v(t) $ e $ x(t) $.

Problema suggerito da Giorgio - non fidatevi !

Nota: si considerino la spinta di Archimede e la forza d'attrito dell'aria (nella forma $ f=kv^2 $ con $ k $ coefficiente costante noto)

$ \displaystyle mg-\rho gV-kv^2=m\dot{v} $

$ \displaystyle a=g(1-\frac{\rho}{\delta}) $
$ \displaystyle b=\frac{3k}{4\pi \delta R^3} $

$ \displaystyle a-bv^2=\dot{v} $

$ \displaystyle c=b/a $

$ \displaystyle a\cdot dt=\frac{dv}{1-cv^2}=\frac{1}{2}(\frac{dv}{1+v\sqrt{c}}+\frac{dv}{1-v\sqrt{c}}) $

Integrando:
$ \displaystyle t=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\cdot ln\frac{1+v\sqrt{b/a}}{1-v\sqrt{b/a}} $

Da cui:
$ \displaystyle v=\sqrt{a/b}\cdot\frac{e^{2\sqrt{ab}\cdot t}-1}{e^{2\sqrt{ab}\cdot t}+1} $

$ \displaystyle x=\frac{1}{b}\cdot ln(e^{2\sqrt{ab}\cdot t}+1) -\sqrt{a/b}\cdot t -\frac{ln 2}{b} $

Il tutto, ovviamente, "modulo" errori di calcolo.

A prevenire eventuali equivoci, non è che io ho fatto il problema e poi ho postato testo e soluzione; il problema mi è stato proposto, io l'ho postato e poi ho fatto la mia soluzione.

la soluzione mi pare completa....la prossima volta che propongo un problema devo specificare che non puoi postare er pri la soluzione se no togli tutto il dvertimento agli altri