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Da una gara nazionale (vi dirò alla fine di che nazione, o ve l'andate a cercare e non è bello ).

Sia D un punto interno al lato BC di un triangolo fissato ABC. Si considerino le circonferenze inscritte in ABD e DCA, e si prenda la loro tangente esterna comune diversa da BC. L'intersezione di questa tangente con AD è il punto E.
Dimostrare che, al variare di D, i corrispondenti punti E descrivono un arco di circonferenza.

Ma che grazioso problemino!
Chiamo F,G,J,K,M,N le proiezioni dei centri delle circonferenze inscritte
su BC, AD e l'altra tangente. Si ha

ED = EJ+JD = EM+DF
ED = EK+KD = EN+DG
MN = FG

da cui facilmente

ED = FD+DG = ((AD+BD-AB)+(AD+DG-AC))/2

AE = AD-ED = (b+c-a)/2

per cui E viaggia su un arco di circonferenza con centro in A e passante
per le proiezioni dell'incentro di ABC sui lati AB e AC.

A occhio e croce è giusto.
Il problema viene da una USAMO anni '90.