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Siano $ a,b,c $ reali e sia $ X=a+b+c+2\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca} $

Dimostrare che:

$ X\geq max(3a,3b,3c) $

e, secondo punto, uno tra i valori $ \sqrt{X-3a},\sqrt{X-3b},\sqrt{X-3c} $ eguaglia la somma degli altri due.

Enjoy!

Prima parte: è ciclica, perciò sia a il massimo.

$ X \geq 3a \Rightarrow 2\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca} \geq 2a-b-c $
$ 4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \geq (2a-b-c)^2 $

Posso elevare al quadrato perchè il membro sinistro è sicuramente positivo, perciò se il membro destro è negativo la disuguaglianza è sicuramente rispettata, se è positivo è lecita l'elevazione al quadrato.
$ 4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \geq 4a^2+b^2+c^2-4ab-4ac+2bc $
$ 3b^2+3c^2 \geq 6bc \Rightarrow b^2+c^2 \geq 2bc $ che è vera per parecchi motivi

Ciao!

Ottimo, tutto esatto anche se direi che questa prima parte era facilina...

Sotto con la seconda!