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Ho questo problema ma non so come risolverlo.

Immaginiamo di avere un pianeta che possiamo approssimare a una sfera. A grande distanza c'è una fonte di luce, i cui raggi possono considerarsi paralleli.
Se la superficie del pianeta è S, qual è la superficie equivalente su cui si può immaginare che tutti i raggi arrivino perpendicolarmente?

Questa risposta è affrettata e probabilmente errata:
se la superficie che cerchi è quella illuminata, la risposta è S/2; se invece intendi la porzione di superficie in cui i raggi si "infrangono" perpendicolarmente ad essa, questa è puntiforme, ovvero vale zero.

Non intendevo nessuna delle due. Immaginiamo di avere un intensità luminosa che vale$ a (W/m^2) $ per i raggi che arrivano perpendicolarmente, e di voler calcolare quanta energia immagazzina il pianeta in un'ora. Allora sappiamo che $ E=atS^I $ dove t e il tempo di esposizione ai raggi solari e $ S^I $ è la superficie che si può considerare "tutta" perpendicolare ai raggi.

In tal caso mi pare che sia S' = S/4, vedi se torna.

Beh, beh.. I raggi di luce che arrivano sul pianeta sono contenuti in un cilindro di raggio pari al suo raggio. Quindi l'energia che riceve il pianeta è precisamente quella che passa per il cilindro, a prescindere da com'è orientata la sua superficie punto per punto.
Perciò non cambia niente se facciamo finta che il pianeta sia un cerchio piatto con lo stesso raggio, orientato ortogonalmente ai raggi di luce.
Dunque, siccome $ S=4 \pi r^2 $ e $ S^I=\pi r^2 $, abbiamo $ S^I=S/4 $, come diceva marcox^^.
E senza integrali!!

ti posso garantire che e' $ \frac{S}{4} $. Il calcolo e' semplice
$ \displaystyle F(\nu,t)=\int_{\partial S'} I(\nu,t)cos(\theta)\textrm{d}\sigma= \int_0^{2\pi}\!\!\!\int_0^{\frac{\pi}{4}}I(\nu,t)r^2cos(\theta)sin(\theta) \textrm{d}\theta\textrm{d}\phi $
da cui si ottiene$ \displaystyle F(\nu,t)=\pi r^2I(\nu)=\frac{S}{4}I(\nu,t) $
Infine ricordati che il pianeta non si comporta come un corpo nero (ovvero non assorbe tutta l'energia che lo investe), quindi devi considerare anche il coefficiente di assorbimento $ k(\nu)<1 $ e integrare su tutte le frequenze
$ \displaystyle E(t)=\int_0^t\!\!\int_0^\infty k(\nu)F(\nu,t) \textrm{d}\nu\textrm{d}t $
Se poi vuoi calcolare la temperatura del pianeta data dal riscaldamento, devi considerare l'energia persa per emissione di corpo nero (anche se sara' nella migliore delle ipotesi un corpo grigio ).

Se il tuo pianetino e' dotato di atmosfera, la faccenda si fa piu' complicata dato che $ k(\nu) $ variera' col tempo (dipendendo dalla copertura delle nubi, tipo di superficie in quel momento esposta, ...), il flusso incidente sara' maggiore, ...

PS: mi sono appena accorto che MindFlyer ha gia' confermato e "senza l'uso d'integrali". Ma a me piacciono cosi' tanto che te li ho lasciati