OliForum Matematico

Dati due interi pari $ m $ e $ n $ con $ m <n> \frac{m^2 + n^2}2 $
allora il polinomio
$ p(x) = (x^2 + k) (x - m) (x - n) + 1 $
ha due radici reali e due radici non reali.

P.S.:scusate ma non riesco a scrivere tutto il testo, o meglio lo scrivo ma ogni volta mi si cancella... Ecco il link per leggerlo interamente
http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf

Proviamo...
Se k rispetta l'ipotesi, allora la derivata seconda non si annulla mai (se ho fatto i conti giusti...) e perciò la concavità è sempre verso l'alto. Il che vuol dire che per ogni valore Q sopra il minimo della funzione ci sono due x tali che f(x)=Q, visto che è continua. Ora rimane da provare che il minimo è minore di zero.
Del resto, prendendo $ x_0=\frac{m+n}{2} $ si vede facilmente che $ p(x_0)<0 $ tenendo conto del fatto che m ed n sono interi pari...

darkcrystal ha scritto: Se k rispetta l'ipotesi, allora la derivata seconda non si annulla mai (se ho fatto i conti giusti...)

Sicuro?
Potresti postare i tuoi conti, cosicchè io possa capire dove ho sbagliato?

Allora... la derivata seconda di quel polinomio è $ 2(k+mn-3(m+n)x+6x^2) $.
Per trovare gli zeri della derivata seconda usiamo la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado: il delta è $ 9(m+n)^2-24(k+mn) $.
Se proviamo che $ 24(k+mn) > 9(m^2+2mn+n^2) $ abbiamo finito.
Ma è vero per ipotesi che $ 24(k+mn)>24(\frac{m^2+n^2}{2}+mn)=24\frac{(m+n)^2}{2}=12(m+n)^2 $ che a sua volta è $ > 9(m+n)^2 $, perciò il delta è sempre negativo e la derivata seconda non si annulla mai...

Modulo errori di calcolo dovremmo esserci

Ciao dalla riviera

Ok grazie, ho trovato il mio errore (mi ero perso un 2...)