OliForum Matematico

Il simpatico Fred organizza una festa di compleanno con i suoi compagni di classe (facciamo quinta elementare o giù di lì). Ad un certo punto, sono rimasti non molti pasticcini e si pone il problema di dividerli fra le fameliche $ M $ bestiole, ovvero gli invitati e il festeggiato.
Lo zio di Fred (esimio probabilista) propone allora questo sistema : sul pavimento si trova un cubo composto di $ N^3 $ cubetti, sulla sua superficie cioccolata, cocacola, ketchup, succo di frutta ed altre amenità formano uno strato orrendamente appiccicoso; lo zio scompone allora il cubo nei cubetti e li mette in un sacchetto ed invita ogni bimbo a turno a prendere un cubetto e lanciarlo (come un dado), se la faccia verso l'alto è appiccicosa il bimbo riceve un pasticcino, altrimenti nisba, dopo di che rimette (in entrambi i casi) il cubetto nel sacchetto.

Qual è il numero medio di pasticcini che ci si aspetta di dover distribuire?

HARDER : Se ogni bambino, dopo aver lanciato, lava il proprio cubetto e lo mette da parte, come cambia la risposta alla precedente domanda? (Onestamente, non so se esista un modo umano di fare questo conto ... io non l'ho fatto)

Ok, sperando di non scrivere idiozie...
Degli $ N^3 $ cubetti ne abbiamo $ 8 $ in corrispondenza dei vertici del cubo grande, con tre facce appiccicose; ne abbiamo poi altri, che formano gli spigoli, con due facce appiccicose: il cubo grande ha dodici spigoli di $ N $ cubetti ciascuno, a cui devo togliere i vertici, per un totale di $ 12(N-2) $. Vi sono poi cubetti con una sola faccia appiccicosa, cioè quelli che formano le facce del cubo grande, eliminando vertici e spigoli. Si tratta di sei quadrati di lato $ N-2 $, in tutto $ 6(N-2)^2 $ cubetti; infine, i cubetti interni al cubo grande non hanno facce appiccicose, e sono in tutto $ (N-2)^3 $ (formano infatti un cubo, interno a quello principale, di lato $ N-2 $).
A questo punto, la media cercata è data dalla sommatoria, per $ i $ che va da $ 0 $ a $ 3 $, dei prodotti fra la probabilità di estrarre un cubetto con $ i $ facce appiccicose e quella di avere come risultato del lancio una di tali facce; tale risultato va poi moltiplicato per il numero di volte che effettuo l'operazione, cioè $ M $, ottenendo $ M\displaystyle \left(\displaystyle \frac{(N-2)^3}{N^3}\displaystyle \frac{0}{6}+\displaystyle \frac{6(N-2)^2}{N^3}\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{12(N-2)}{N^3}\displaystyle \frac{2}{6}+\displaystyle \frac{8}{N^3}\displaystyle \frac{3}{6} \right)= $$ M \displaystyle \frac{N^2-4N+4+4N-8+4}{N^3}=\displaystyle \frac{M}{N} $.

Senza conti:
il procedimento di scegliere prima un cubetto a caso e poi una faccia a caso equivale a scegliere direttamente una faccia a caso tra tutte quelle disponibili su tutti i cubetti (in quanto tutti i cubetti hanno lo stesso numero di facce). Quindi basta trovare il rapporto tra facce appiccicose e facce totali.
Per ognuna delle 6 "orientazioni" delle facce (sopra, sotto, destra, sinistra, davanti, dietro) vi sono N piani uguali possibili, dei quali uno è tutto appiccicoso, e N-1 non sono appiccicosi.
Quindi la probabilità di beccare una faccia appiccicosa è 1/N, e il numero medio di biscotti da distribuire è M/N.

Ok a post e a Mind, ovviamente.

Una sola preghiera : Mind, visto che è tutto testo, puoi sbiancare la tua soluzione? Voglio vedere se quell'idea viene ad altri.

Detto fatto!

tnx!!
E ora, sotto gli altri!! Mi sembra che l'idea per farlo senza conti sia abbastanza istruttiva. Sforzatevi!!