C'è un simpatico lavavetri che deve pulire l'angolo di una finestra rettangolare.
1a soluzione del lavavetri:
Prende una spugna semicircolare di diametro 10 cm e tenendo i due spigoli della spugna sempre su due lati della finestra fa scorrere la spugna dalla posizione [un vertice della spugna nell'angolo A e il lato rettilineo attacato ad un lato] alla posizione [l'altro vertice della spugna nell'angolo A e il lato rettilineo attaccato all'altro lato].
2a soluzione del lavavetri:
Prende la spatola lavavetri (di 10 cm di lunghezza) assimilabile ad un segmento e compie la stessa operazione descritta prima.
La domanda è: Che area spazza nel primo caso? e nel secondo?
Avvertenza: il primo caso è abbastanza olimpico... per il secondo caso ho trovato una soluzione ma è molto + contosa (richiede conoscenze più o meno avanzate) ma anche + simpatica. Buona fortuna!
Un simpatico lavavetri... (@Caldè & @ treno back from Ca
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Simo_the_wolf
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1a soluzione
Si osservi per prima cosa che il luogo di punti descritto dalla traiettoria del centro della semicirconferenza è una circonferenza.
Questo perchè, considerando i due lati della finestra rispettivamente l'asse delle ascisse e delle ordinate, si può esprimere il moto del segmento-diametro della spugna come $ (x^2 + y^2) = (10cm)^2 $. Ora le coordinate del centro, che è punto medio del diametro, sono $ (x_c;y_c) = (x/2;y/2) $, da cui risulta $ (x_c^2 + y_c^2) = (5cm)^2 $.
E' evidente che l'area racchiusa dal quarto di circonferenza descritto dal centro viene spazzata interamente dalla spugna. Si tratta di capire quale area ad esso esterna è spazzata.
Ora si consideri per ogni punto del quarto di circonferenza il prolungamento del raggio di pari lunghezza: esso è anche raggio della semicirconferenza spostata. Siccome nessun altro punto delle semicirconferenze ruotate si trova in un punto più distante del prolungamento, l'area spazzata è una circonferenza di raggio 10cm.
Dunque l'area è $ (pi r^2)/4 = 25 pi cm^2 $
Scusate se non l'ho spiegato benissimo, ma sono un po' arrugginito...
Si osservi per prima cosa che il luogo di punti descritto dalla traiettoria del centro della semicirconferenza è una circonferenza.
Questo perchè, considerando i due lati della finestra rispettivamente l'asse delle ascisse e delle ordinate, si può esprimere il moto del segmento-diametro della spugna come $ (x^2 + y^2) = (10cm)^2 $. Ora le coordinate del centro, che è punto medio del diametro, sono $ (x_c;y_c) = (x/2;y/2) $, da cui risulta $ (x_c^2 + y_c^2) = (5cm)^2 $.
E' evidente che l'area racchiusa dal quarto di circonferenza descritto dal centro viene spazzata interamente dalla spugna. Si tratta di capire quale area ad esso esterna è spazzata.
Ora si consideri per ogni punto del quarto di circonferenza il prolungamento del raggio di pari lunghezza: esso è anche raggio della semicirconferenza spostata. Siccome nessun altro punto delle semicirconferenze ruotate si trova in un punto più distante del prolungamento, l'area spazzata è una circonferenza di raggio 10cm.
Dunque l'area è $ (pi r^2)/4 = 25 pi cm^2 $
Scusate se non l'ho spiegato benissimo, ma sono un po' arrugginito...