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4. Sia $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ una funzione non negativa, con concavità rivolta verso l’alto, derivabile e tale che$ f' (0) > 0 $ e $ f (x) = f (2 - x) $ per ogni $ x \in\mathbb R $.
Dimostrare che
$ \displaystyle{\int_0^{2}\ f(x)dx\leq 2f(1) - \frac{[f(1) - f(0)]^2}{f'(0)} $

Provare che se la condizione $ f (x) = f (2 - x) $ non è verificata, la diseguaglianza può non valere.

sei sicuro che la concavita' sia verso l'alto? perche' non riesco nemmeno a disegnarlo, simmetrico rispetto a x=1 e con derivata in 0 positiva... mentre se lo si fa con concavita' verso il basso torna tutto bene.

Innanzitutto non mi sembra un problema di Algebra ... in secondo luogo, il testo è quello riportato anche su internet ... ma per le funzioni con concavità verso l'alto la disuguaglianza è falsa ... peccato, sembrava carino.
Temo che il testo corretto sia per funzioni con concavità verso il basso...

Allora ... nell'ipotesi di concavità verso il basso ...
$ \int_0^2f(x)dx=2\int_0^1f(x)dx $ per la simmetria rispetto a x=1.
Inoltre, la derivata prima è positiva per x<1>1.
Poi, poichè la f ha la concavità verso il basso, essa sta sempre sotto ogni sua retta tangene; chiamiamo r la retta tangente in $ A=(0,f(0)) $ e s la retta $ y=f(1) $, sia B il loro punto di intersezione e sia $ C=(1,f(1)) $.
Allora l'integrale di f tra 0 e 1 è minore dell'area sotto la spezzata ABC, che è metà del RHS (ricordando che il coefficiente angolare di r è f'(0)).

confermo... era concavità verso il basso... poi l'unica idea era quella di Evariste cioè: retta tangente sovrastante il grafico.
Bye

Stavo riscrivendo esattamente lo stesso problema.. per fortuna, cercando come fare il simbolo di integrale, mi sono imbattuto su questo topic.
Il mio primo dubbio è stato già chiarito da quanto leggo, (la concavità era verso il basso), ma ne ho 1 altro: come fa la funzione ad essere sempre non negativa? Se la concavità è verso il basso significa che prima o poi dovrà scendere al disotto dell'asse X o sbaglio? perchè se poi diventasse un asintoto per Y=0 allora cambierebbe la sua concavità....

Visto che tutto il problema riguarda l'intervallo [0,2], penso che la positività vada intesa limitata a tale intervallo.