OliForum Matematico

Siano $ x,y,z \in R^+ $ tali che $ x+y+z=3 $.

Si dimostri che:

1. $ x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx $
2. $ x+y+z \geq xy+yz+zx $
3. $ \sqrt{x}+ \sqrt{y} + \sqrt{z} \geq xy+yz+zx $
4. $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} \geq xy+yz+zx $
5. Si determini la migliore costante $ p $ per $ x^p + y^p + z^p \geq xy+yz+zx $

Good luck

EDIT: i'm sosorry

uhm.. $ a,b,c $ o $ x,y,z $?

La 1 con riarrangiamento (o con CS..), la 2 con MacLaurin, le altre ci penso...

ciao

2. (a me McLaurin sta sulle balle ... forse perchè non ricordo mai cosa dica ...)
$ \begin{array}{ccc}x^2+y^2+z^2&\geq& xy+yz+zx\\ &+& \\ 2xy+2yz+2zx&=&2xy+2yz+zx\\ &\Downarrow& \\ (x+y+z)^2&\geq&3(xy+yz+zx)\end{array} $