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Siano $ A, B, C, P, Q $ dei punti su di una circonferenza. Dimostrare che l'angolo orientato modulo $ \pi $ tra le linee di Simson di $ P $ e $ Q $ rispetto al triangolo $ ABC $ è la metà dell'arco orientato $ PQ $.

Un modo per dimostrarlo, anche se forse non è quello che aveva in mente Kedlaya nel metterlo nella parte sugli angoli orientati, è tramite questo "risultato ben noto" :
Sia U l'intersezione tra la perpendicolare al lato BC per P e la circonferenza, allora AU è parallela alla retta di simson di P rispetto ad ABC.
In questo modo, invece di utilizzare l'angolo tra due rette di simson che non sappiamo come sono messe, usiamo l'angolo tra due corde uscenti da A i cui altri estremi hanno un legame abbastanza diretto con P e Q e si vede bene che l'angolo in A è metà dell'angolo al centro che sottende PQ. Ora, tutto il busillis sta nel mostrare il ben noto risultato, che non è difficilissimo, ma presenta alcuni problemi di configurazione (almeno in certe soluzioni) in cui comunque potrebbe essere utile utilizzare gli angoli orientati.

Anch'io avevo pensato ad una soluzione con quel lemma, provo a postarla qui sotto.

Mi scuso per la confusione di lettere...
Siano $ Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} $ i piedi delle perpendicolari da $ Q $ ai lati di $ ABC $.
Lemma 1
Detta $ S $ l'intersezione tra la perpendicolare da $ Q $ a $ BC $ e la circonferenza, allora $ AS $ è parallela alla linea di Simson di $ Q $ rispetto ad $ ABC $.

Si ha $ \angle QQ_{1}Q_{2} = 90 - \angle Q_{2}Q_{1}B $ = $ 90 - (180 - \angle B - \angle Q_{1}Q_{2}B) = \angle B - \angle QQ_{2}Q_{1} $.
Dalla ciclicità di $ QQ_{1}BQ_{2} $ si ha $ \angle QQ_{1}Q_{2} = \angle B - \angle QQ_{2}Q_{1} = \angle QBA = \angle QSA $.

Analogamente si ha che $ AR $ è parallela alla linea di Simson di $ P $ rispetto ad $ ABC $.

Tornando al problema:
si ha $ \angle (HM, KL) = \frac{\smile HK + \smile ML}{2} $. D'altro canto tracciate $ QQ_{1} $ e $ PP_{1} $ che incontrano la circonferenza in $ S $ e $ R $ si ha $ \smile PQ = \smile SR $ e, per il Lemma 1, $ \smile AK = \smile SL $ e $ \smile HA = \smile MR $. Da cui $ \angle (HM, KL) = \frac{\smile PQ}{2} $.

PS: qualcuno mi sà dire come inserire il disegno, in modo da rendere il tutto più chiaro?