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Questo problema è proprio carino e proviene da un esame di analisi :

Esiste una funzione $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tale che la restrizione $ f |_{[a;b]} : [a,b] \to \mathbb{R} $ risulti surgettiva per ogni scelta arbitraria $ a,b \in \mathbb{R}, \ a<b $ ?
Se si trovarne una, se no dimostrare che non esiste.
(ovviamente la funzione non deve dipendere da $ a $ e $ b $)

Dato $ x\in]-1,1[ $, scrivo
$ x=\pm0,a_0a_1a_2\ldots a_n\ldots $
e definisco f(x)=0 se l'insieme $ J=\{i\in\mathbb{N} | a_i=7\} $ è infinito; se invece J è finito, considero il suo massimo k e ottengo il numero
$ y=\pm0,a_ka_{k+1}\ldots $
Leggo y come numero in base 9 con cifre {0,1,2,3,4,5,6,8,9} e ottengo il numero z; definisco f(x)=z.

$ f:]-1,1[\to]-1,1[ $ è surgettiva ed è surgettiva ogni sua restrizione ad un intervallo; ora basta comporre con due omeomorfismi tra l'intervallo aperto e la retta reale. Inoltre, questa è una funzione non continua che manda ogni intervallo in un intervallo.

uhm..
posso permettermi di sollevare qualche dubbio sulla continuità?
a parte che una funzione continua manda compatti in compatti (e qui non torna), prendi la successione $ x_n = 0,7\dots7666\dots $, dove ci la cifra $ 7 $ appare $ n $, volte.. $ x_n \to 0,77\dots $, ma $ f(x_n) $ non mi pare tenda a $ 0 $, visto che vale stabilmente $ 0,666\dots $ (letto in base $ 9 $)...

in ogni caso, non sono qui solo per criticare, ma anche per proporre un approccio molto diverso, e se vogliamo meno costruttivo: prendiamo una bigezione $ h $ da $ \mathbb{R}/\mathbb{Q} $ su $ \mathbb{R} $ (esiste), e consideriamo $ f(x) := h([x]) $.. questa è suriettiva su ogni intervallo (ma non è né continua, né misurabile, fa abbastanza schifo).

E' ovvio che non esiste continua.
f dev'essere discontinua in ogni punto (dimostrare).

Ovviamente ha ragione mind ... del resto, ma_go, nelle ipotesi del problema non c'è scritto continua... mi sorge il dubbio che forse fosse nel testo dell'esercizio di analisi, visto che trovare questa funzioncina non è facile nè tanto interessante al fine di valutare la comprensione dell'analisi ... ma vabbè, sono in vacanza, quindi non ho molto da fare e sono polemico.

EvaristeG ha scritto:Inoltre, questa è una funzione continua che manda ogni intervallo in un intervallo.

a cosa ti riferivi, scusa? pensavo che con "questa" intendessi la tua funzione...
ora mi sovviene il dubbio che ti riferissi agli omeomorfismi...
cavolo, sii più chiaro! e almeno concorda le cose (ora chi è il polemico? )

Dicevi?

(quella funzione è un controesempio alla frecca Darboux==>continua ... dove la proprietà di Darboux è quella di mandare intervalli in intervalli; proprietà che ad esempio ha la derivata)

ma_go ha scritto:prendiamo una bigezione $ h $ da $ \mathbb{R}/\mathbb{Q} $ su $ \mathbb{R} $ (esiste), e consideriamo $ f(x) := h([x]) $

Invece non capisco questa. Cosa intendi per [x]?

$ [x] = \mathbb{Q}x $ è la classe laterale (o classe di equivalenza, vedi tu come vuoi chiamarla) di $ x $ in $ \mathbb{R}/\mathbb{Q} $.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHH, ora è chiaro, io continuavo a pensare "parte intera" e continuavo a dire "OMFG WTF STFU!". In pratica avevo preso il / come un \ e avevo completamente equivocato. 10x.

Dunque si tratta di un metodo meno costruttivo, per via del fatto che non hai idea di come costruire una bigezione tra R/Q e R, fammi capire?

ma_go ha scritto:(ma non è né continua, né misurabile, fa abbastanza schifo)

Altra cosa: non capisco perché non è misurabile, a prescindere da h. Come lo dimostri?
Considera che per costruire la funzione che risolve il problema non hai usato l'assioma della scelta, quindi devi necessariamente usarlo ora!
Comunque sono d'accordo con te su una cosa: fa abbastanza schifo (e scherzo.. ).

ciao! Volevo proporre questa sol per sapere se è corretta...

Per costruire la funzione voluta si può esprimere R come unione di insiemi densi e disgiunti in R. Se il numero di questi insiemi avrà la cardinalità del continuo (maggiore non può essere), potranno essere messi in bigezione con R e fornire in questo modo la funzione voluta, associando ad ogni x come f(x) il numero reale con cui è stato messo in bigezione il denso a cui appartiene. Questa funzione sarà surgettiva nel senso del problema, perchè preso un intervallo [a,b], all'interno si deve trovare un elemento di qualsiasi denso.

Per trovare i densi voluti si può partire dall'insieme $ U=\frac{k}{2^n} $ con k che varia nei relativi dispari ed n nei naturali. Questo insieme è denso ed anche ogni suo traslato $ U_a=\frac{k}{2^n}+a $, lo è... inoltre $ U_{a_2} $ ed $ U_{a_1} $ hanno elementi in comune solo se:

$ a_2-a_1=\frac{k_1}{2^{n_1}}-\frac{k_2}{2^{n_2}}=\frac{u}{2^m} $ [1]

con u numero dispari ed m intero.

Se scegliamo a che varia nell'insieme di Cantor la condizione [1] non si verifica mai... ma l'insieme dei Cantor ha la cardinalità del continuo e questo porta a concludere...

che ne dite???

Sì ok, è concettualmente la stessa costruzione di ma_go.
Il problema di mates è risolto, queste funzioni esistono. Noi però ci stavamo concentrando sulla misurabilità delle funzioni che risolvono il problema, ed a parte un claim piuttosto azzardato di ma_go, non si è ancora detto niente.