OliForum Matematico

DISCLAIMER : Non so se quel che segue ha senso ...

Consideriamo un gruppo $ G $ di cui sia data una presentazione per generatori e relazioni $ <g_1> $ e associamogli il grafo $ \mathcal{G}=(V,E) $, dove V=G (come insiemi) e $ (x,y)\in E\Leftrightarrow y=xg_i^\alpha $ con $ \alpha=\pm1 $; ovviamente, (x,y) sta in E se e solo se ci sta (y,x), inoltre (supponendo che la presentazione non contenga generatori banali, ovvero che non esista alcuna relazione della forma $ g_i $) non vi è la coppia (x,x) per alcun x.

Ora, date due presentazioni <g> e <h> di un gruppo G, possiamo pensare di definire una mappa tra i due grafi $ \mathcal{G}=(V,E) $ e $ \mathcal{H}=(V,E') $ utilizzando l'identità su V e associando ad ogni arco in uno una successione di archi nell'altro nel modo seguente:
se tra x e y c'è un arco in $ \mathcal{G} $, allora y=xg_i (o x=yg_i) e ovviamente si avrà $ g_i=h_{i_1}^{e_1}\cdots h_{i_k}^{e_k} $, quindi si potrà associare l'arco in $ \mathcal{H} $ che corrisponde alle successive moltiplicazioni per gli $ h_{i_j}^{e_j} $.

Primo interrogativo : questa funzione non è molto sensata, dal punto di vista dei grafi ... ce n'è una più decente??

Secondo interrogativo : i grafi così formati sono in qualche modo un invariante associato al gruppo?
Ad esempio, tramite questa funzione bislacca si nota che alberi vanno in alberi e il grafo associato alla presentazione ovvia di un gruppo libero è un albero ... oppure, il numero di cicli dovrebbe conservarsi (credo) e il grafo associato a un gruppo ciclico è un ciclo unico ...

Terzo interrogativo : sta cosa esiste da qualche parte o è talmente inutile che nessuno l'ha mai pensata?

Commenti? Risposte? Osservazioni? Suggerimenti (che non riguardino il suicidio dell'autore o l'uso commerciale del suo didietro) ? Insulti?

Non l'ho mai vista questa cosa, ma mi sembra troppo strano che nessuno ci abbia mai pensato! Nota che queste robe hanno l'aria di essere una categoria, prendendo le presentazioni come oggetti e le funzioni che hai definito come morfismi (con le opportune e noiosissime puntualizzazioni). Esisterà certamente da qualche parte qualcosa sull'argomento.

Immagino anch'io, il problema è che non riesci ad associare ad un arco un arco, ma solo, più genericamente, un cammino sul grafo ad un cammino sul grafo ... senza garanzie sul numero d'archi e simili... la cosa è sensata, in quanto in un gruppo non importa che un elemento si ottenga dall'altro moltiplicandolo per uno solo di k elementi fissati o per 37 di h altri elementi fissati, basta che uno si ottenga dall'altro... e in quanti modi lo si può fare ... per capire, a spanne, quanto è lontano questo gruppo dal gruppo libero ...
Inoltre, penso che si possa trovare anche informazioni sui sottogruppi e cose simili ...

Penso che il problema si possa legare a dei diagrammi di Cayley, forse e' trattato sul libro di Magnus... non ne sono sicuro. E' affine ad una delle tecniche di riduzione che si utilizza per vedere se due presentazioni sullo stesso insieme di generatori sono equivalenti (se non ricordo male si chiama riduzione per normali...).
/begin{possibileboiata}
La tua mappa probabilmente si lega anche alla teoria dei processi di riduzione di Church-Rosser (ad esempio il meccanismo per la creazione delle basi di Groebner e' un operatore di Church-Rosser confluente, ovvero garantisce terminazione unica ed altre qusquillie), ma e' solo un'intuizione, dove l'operatore (ammesso che sia confluente!) e' un cammino sul grafo...
/end{possibileboiata}
Secondo me il problema si esprime meglio tramite grammatiche, che non con i grafi, anche perche' si tratta di combinatoria sulle parole e tu utilizzi tecniche di riscrittura...

Hmm ammetto di non conoscere nulla di quel che citi (a parte le basi di Groebner e i diagrammi di Cayley, ma solo per sentito dire). Comunque, parlavo dei grafi per alcuni legami con la teoria dei rivestimenti ... se consideri il rivestimento universale di un grafo, ottieni un albero che rappresenta (nel modo da me suggerito) il gruppo libero che è gruppo fondamentale del grafo di partenza... se poi prendi i rivestimenti intermedi, il gruppo di trasformazioni del rivestimento è proprio il gruppo associato ad esso ... non so se tutto ciò può avere un senso ... ma mi sembrava curioso.

Confermo, il grafo che hai costruito è conosciuto come grafo di cayley di un gruppo; conosco un libro "I gruppi e i loro grafi" in cui viene introdotto lo studio di un gruppo attraverso il relativo grafo di cayley.